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移动荷载对弹性支座桥梁的冲击响应
摘要：本文利用解析法研究了移动列车荷载作用下弹性支座桥梁的动力响应。关于此问题，在以往文献中并未得到很好地解决。现有研究结果表明：桥梁对于谐振的动力响应是保持大致恒定的，若考虑阻尼效应的话，作为隔离地震荷载作用设置于桥梁支撑处的弹性支座有可能放大移动列车荷载对桥梁的动力响应。本文推导出了小阻尼桥梁挠度计算的包络影响公式，这有助于铁路工程师进行初步设计。
1. 引言
为阻止严重地震使桥梁受到破坏，桥梁工程中经常使用弹性支座作为基础隔震装置。作为桥梁的支撑，弹性支座通常被用作阻隔地表传播来的振动能量。然而，这种装置可能相反地导致桥梁对于移动列车荷载动力响应的放大。在本研究中，运用一种解析法表现了对弹性支座桥梁在模拟高速列车作用的系列移动荷载作用下动力响应的研究。桥梁可能引起的谐振响应本文亦有研究。
承受高速移动荷载作用的桥梁结构的动力响应是高速铁路桥梁设计中的重点关注问题之一。在以往文献中，大量解析法提出将桥梁建模为束状结构并将车辆作为移动荷载或移动质量块。近年来，Yang等学者研究了对于简支梁受到系列高速移动荷载的动力响应的一种近似解法，使得谐振和消振现象被证实的同时，提出了最佳设计准则。考虑到阻尼的效果，Li和Su研究了桥梁在高速列车作用下谐振振动的基础特性和主要因素。通过运用动力刚度法和阻尼铁木辛科梁理论，Chen和Li研究了一些台湾高速铁路局初步设计的高架高速铁路的动力响应。
另一方面，基于有限元理论，更多复杂的模型被研究人员设计出来并应用于研究车桥相互作用问题的动力行为。为解决车桥耦合效应，应运用具有迭代性的方法。基于动力缩聚的概念，为受到移动列车影响的铁路桥梁作动力分析，Yang和其同事们研发了车桥相互作用(VBI)单元。Cheung等学者使用修正梁振动函数来研究多跨不一致桥梁承受移动车辆荷载的响应。Ichikawa等学者使用模态分析法来研究连续梁在移动质量块作用下的动力行为。他们发现移动质量块在第二连续跨比第一跨有更强的惯性效应。
据作者所知，在移动荷载作用下弹性支撑梁动力响应方面的研究并不多见。本文的目的在于解析性地求解弹性支撑梁承受高速移动荷载的动力问题，解析法的一个优势在于可以识别关键参数所控制的物理响应，然而，这也无法让我们使用太过复杂的物理模型。因此，作者未在本文中考虑车桥相互作用以及车辆阻尼的效果。基于现有结果，得出了考虑结构阻尼求解梁挠度的包络影响公式。公式的精确性通过在数值算例与有限元解法进行对比得到了证实。
2. 运动方程
如图1所示，假设一个两端各有一个刚度为K的弹性支座支撑的梁，梁长为L且横截面一致，列车被看成一列等距移动荷载以速度v通过桥梁。两个移动荷载间距为d且每个移动荷载质量为p，承受移动荷载的梁的运动方程可写作：
式中，起始运动方向为横坐标x，上点为横坐标t，m表示每个单位长桥梁的质量，指垂直位移，ce指外部阻尼系数，ci指内部阻尼系数，E为弹性模量，I是惯性矩，delta;指狄拉克函数，H(t)是单位步长函数，N是移动荷载总数， 是梁上的第k个荷载到达时间。相对的，梁的边界条件是：
(2a-c)
初始条件为：
(3)
假设梁初始在未受载状态。
3. 梁的基本频率
为了分析弹性支撑梁对于系列移动荷载的动力响应，梁的振动形态将如图2所示近似于一个弯曲正弦模型和一个刚性位移模型。因此，弹性支撑梁位移可表示为：
(4)
表示振动形式的广义坐标， 为假定模型函数， 是梁对弹性支座的刚度比。上式中，方程分子中的kappa;表示刚性位移模型。对于表示铰接支撑的特殊条件，假定的模型形状降低到弯曲模型。可以从式(4)中看出相对于第一弯曲模型和刚性模型的高阶模型已经被排除，因为梁对于移动荷载响应的瞬态性质，尤其当只需要梁的中点位移时，因此这对研究移动荷载问题是合理的。
通过瑞雷法，弹性支撑梁的基本频率可以被计算为：
(5)
是对应铰接支撑梁的基本频率。当时，弹性支撑梁的基本频率omega;变为与相应的简支梁相等。另一方面，如果，频率omega;降为零，意味着梁未得到支撑。为验证由式(5)得到的近似基本频率的准确性，精确解法将会由以下弹性支撑梁频率等式计算得出：
(6)
其中，。由式(6)计算得出的基本频率已经在图标3中与式(6)得出的精确解进行在不同刚度比下对比。可见，近似频率与精确频率非常吻合，意味着使用式(6)中给出的弹性支撑梁近似模型形状是可接受的。
4. 动力响应分析
将式(4)中的位移表达式代入式(1)，将等式两边乘以形函数，并对梁x轴长度L进行积分，可以得到运动方程在广义坐标的形式
(7)
式中xi;为模态阻尼比是广义外力函数。
(8)
在这里，是表示移动荷载的驱动频率。
首先，考虑当单个移动荷载穿过桥梁的情形。动力方程(7)为
(9)
通过杜哈梅积分，广义纵坐标能够从式(9)被解答为
(10)
其中是相对简支梁静挠度最大值，为速度参数，为阻尼频率。值得注意的是速度参数S反映了驱动频率对梁频率的比例。对于实际中大部分的车桥问题，速度参数S小于0.3。
在本研究中，仅考虑小阻尼弹性支撑梁(xi;＜0.05),这意味着xi;2，xi;S和xi;kappa;可以被忽略。因此，式(10)中的响应可以化简为：
(11)
其中，，给出函数和：
(12a,b)
考虑当一系列固定间距为d的移动荷载通过桥梁时。动力响应能够由式(11)扩展为：
(13)
其中表示桥梁上第k个荷载的到达时间，单位步长函数用来表示梁上第k个移动荷载的直接作用，函数表示第k个荷载的间接作用。
5. 谐振和消振现象
在本研究中，梁的跨度L被假定为不大于两个移动荷载间距d的两倍，即,此设定可表示大多数高速铁路建筑。为了推导系列移动荷载的作用下所发生的谐振以及消振现象，在本节中我们将忽略梁的阻尼作用。对此特殊情况，，式(13)中梁的动力响应可化简为：
(14)
其中
(15a,b)
在式(14)和(15)中，函数表示在简支梁弯曲振动模式的贡献， 表示弹性支撑的刚性位移模式。当队列中的最后一个(第N个)移动荷载到达梁时，对梁的激励会达到最大，因此响应也会达到最大值。在的情况下，式(15a)中的函数可简化为：
(16)
且式(15b)中的函数简化为
(17)
通过介绍下列关系：
(18a,b)
式(17)中的可被转换为：
(19)
通过运用式(14)，(16)和(19)，弹性支撑梁中点的动力响应能够由式(4)得出：
(20)
其中动力响应因素和为：
(21a,b)
等式被运用于推导式(21)。从式(20)中可以看出与相关，表现了由第N个作用在梁上的移动荷载引起的动力响应。同时，与相关，表现了由N-1个已经通过梁的移动荷载引起的剩余响应。
从式(21b)可以看出当时响应达到最大值，这是精确使谐振发生的条件。谐振速度相应被写作。值得注意的是条件得出的谐振速度独立于刚度比kappa;。由洛必达法则可知，式(21b)中谐振的动力响应因素能够被应用于领域[5]
(22)
其中，下标res意思是谐振(resonance)。上述方程表示在谐振条件下，越多荷载通过梁(正如前述N-1)，梁产生的响应越大，式(22)中的另一个发现是当和的符号不一致时，如，当弹性支座和梁的振动阶段一致时，响应因素达到最大值，此时梁的响应会扩大。当弹性支座和梁的振动阶段不同时，梁的响应会被削弱。
另一方面，式(21b)中可以观察得到，无论何时，当满足以下条件时：
(23)
之前经过梁的N-1个移动荷载引起的残余响应消失。因此，式(23)中的条件可以被推论为消振条件。在此条件下，式(20)中梁的中点动力响应变为：
(24)
其中，下标can解释为消振(cancellation)。可见，当无论何时消振条件满足时，梁的响应仅仅被第N个移动荷载所决定，此时已经过梁的移动荷载的效果被完全压制。
6. 对阻尼影响的考虑
考虑当满足式(21b)所示谐振条件时，如，或，其中 ，并且在时间，即，第N个移动荷载正作用于梁上时，如图4所示。可得并可得到下列关系：
(25a-c)
通过在式(13)中对前述关系已考虑阻尼效果的介绍，在最后一个(如第N个)移动荷载作用下的弹性支撑梁谐振响应可写做：
(26)
此外，通过近似展开指数函数，其中，系列总和有如下关系：
(27a,b)
式(26)中的动力响应可以被进一步展开为：
(28)
当零阻尼时，如使xi;=0，式(28)中的动力响应化简为：
(29)
这与式(20)中给出的谐振条件相同。
为了得到一些形式近似的解，让我们假设有一列无穷数目的移动荷载通过桥梁。通过让车辆的数目接近无限，即N→infin;，并为小阻尼使用近似关系，式(28)可以写成：
(30)
式(30)中可以证实并在应用后文所述例子中，若考虑阻尼效果，梁的谐振响应取决于一个无穷数目移动荷载保持多少的连续不变。此外，通过使用下列关系：
(31)
式(30)中的谐振可写做：
因为和不同相，当函数达到最大值时，函数处于最小值。至于最大响应而言，前述表达可以通过在第三行中加入条件得到以下近似：
(33)
其中，。在此方面，我们已经导出了弹性支撑条件在式(33)中考虑阻尼效果的最大响应。
7. 谐振响应的包络公式
此节中，在假设梁为小阻尼且服从无限数目的移动荷载基础上，推导基于式(33)中最大响应的弹性支撑梁的包络公式。当满足谐振条件时，此时不满足式(23)中的消振条件，梁的动力响应取决于包含式(33)中的条件。此外，函数达到最大值当满足以下条件：
(34)
将式(34)代入式(33)并对小阻尼近似，可得到：
(35)
绝对最大响应响应为：
(36)
对于本研究中考虑小阻尼的情况，即，应采用下列关联：
(37a,b)
式(36)中的最大响应可以化简为：
(38)
此式适用于谐振条件但不适用于消振条件。
另一方面，当式(23)中的谐振条件和消振条件均满足时，如，式(33)中的响应变为：
(39)
在这里由于阻尼效应，以及考虑到范围内的运行速度，强迫振动条件和持续的kappa;将主导响应，通过使，或者，式(39)变为：
(40)
将其进一步展开为：
(41)
若其使用考虑到了关联和。此式在谐振条件和消振条件同时满足时有效。
8. 影响因素和包络影响公式
承受移动荷载的弹性支撑梁挠度的影响因素被定义为：
(42)
其中和相反地表示了在位置<e
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