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用于对有拉力破坏的钢筋混凝土框架柱进行可靠性分析的非线性函数模型
摘要：
根据在美国和中国的设计规范中提到的相同的能力模型，有拉伸破坏的钢筋混凝土框架柱的非线性功能函数是建立在垂直荷载和水平荷载相结合的基础上的。然后，我们了解到在极限状态下垂直荷载和水平载荷的相互作用曲线有一些特殊的特性；这是一个具有一定正相关关系的非线性曲线，它在很大程度上与规范中所采用的简单的线性失效函数有很大的不同。同时，我们对整个曲线的正相关关系的比值也进行了研究。随后，我们采用一系列扩展技术建立了一个实际的失效函数的非线性模型。数值模拟结果表明，该模型可用于获得准确的可靠性结果，对于可靠性变化也有一个有效的预测，并且在低可靠性的情况下，也能得出一个方便的预测。基于该模型的结果表明，具有相同的安全系数，但具有不同的设计参数的钢筋混凝土柱，在设计时，他们的可靠性方面有很大的差异，并且由垂直载荷产生的偏心率较小时，可靠性将是较低的。
- 简介
水平荷载和竖向荷载的组合作为一个基本荷载组合，在几个设计规范（如中国规范[ 1 ]和ACI规范[ 2 ]）中规定，在高风区和强地震区的钢筋混凝土柱的设计中它往往占据着主导地位。一般情况下，应用规范中的设计方法，钢筋混凝土柱的目标安全级别就可以实现。然而，在强风或地震作用下，钢筋混凝土柱的破坏通常要比预期的更为严重。例如，我们发现，在强大的风力作用下，一些用于支撑渡槽的钢筋混凝土框架柱就倒塌了，在2008年中国汶川的地震中，由于柱子严重损坏导致许多钢筋混凝土框架结构倒塌。这些问题主要是由于更大强度的作用（风和地震作用）以及框架结构中钢筋混凝土柱的承载状况不利（见[ 3,4 ]）导致的。
事实上，这样的问题跟钢筋混凝土柱的低可靠性设计也是相关的，而在这方面我们的确没有投入更多的关注。当垂直荷载（如恒荷载和活荷载）作用于柱上时，荷载偏心率保持不变，这种情况下设计的可靠性通常很高（5-9）。因此，当弯曲能力被假定为一个独立的荷载变量，失效函数被建立为线性之后，固定偏心率的标准被广泛采用在水平荷载和垂直载荷组合的可靠性校准上。例如，某某通过对钢筋混凝土柱的可靠度校核，采用弯矩和弯承载力的简单线性函数，得到了一些设计要素。某某等人也用这种方法在ACI规范中建立了相应的设计要素。然而，由于水平荷载和竖向荷载都具有随机性，在这种组合下的钢筋混凝土柱的荷载偏心率也是随机的。因此，在[10,11]中给出的，现行的钢筋混凝土柱的设计方法中使用的一些设计因素可能在可靠性方面会低估这种变化的影响。
这一结论是在以往的研究中报告过的。某某等人指出，如果忽略钢筋混凝土柱偏心率的随机性，在大部分的张拉破坏区域，目标所要设计的可靠性通常无法保证。某某等人基于ACI-318规范，在相关随机荷载下还计算了钢筋混凝土柱的设计可靠性并发现相应的设计也是不安全的。某某等人指出，在中国的设计规范中，由于忽略了弯矩与轴向力之间的随机相关性，不安全的设计也会出现。此外，为了避免可能存在的不安全的设计，某某等人提出了一个关于安全要素的新的形式，它是根据柱设计的要素（如荷载偏心）提出来的，跟欧洲规范2 [ 16 ]里的内容相比，它可以实现更好的设计。
一般情况下，可靠性和柱不同的设计参数之间的依赖关系是相当复杂的。因此，在低可靠性的情况下，很难找到关键。在上述的研究中，对可能存在的不安全设计进行的可靠性分析，主要是通过蒙特卡洛模拟来实现的。然而，使用蒙特卡罗模拟失败的概率是小，但往往会导致一个很高的计算成本。因此，我们探索的问题就要以其结构和特点为依据。事实上，不安全的设计主要来源于没有充分考虑随机偏心引起的复杂功能函数。如果功能函数的复杂特性研究得很透彻，即使没有可靠性分析，也可能预测出低可靠性的情况。因此，一个适当的功能函数模型是很必要的，它能更有效的预测与不安全的设计相关的关键情况。
本研究试图提出一个非线性的故障函数模型，以实现这一目标。该模型是以设计规范中容量模型和一系列扩展技术为基础的。该模型是通过荷载而不是通过内力来表达的，进而来研究该失效函数的复杂特性。它也被用来预测不同设计参数的钢筋混凝土柱的可靠性的差异。
- 设计模型比较
对于一个典型的对称矩形截面，有张力破坏的柱，基于规范的计算模型
通常采用等效矩形应力块的假设，它在中国和美国的设计规范中都有介绍。在中国混凝土规范中，柱内力公式是这样描述的：
公式中M,N分别代表弯矩和轴力；alpha;1fc是混凝土的抗压强度（A1frac14;1:0正常强度混凝土）；fy和fyrsquo;是抗压和抗拉强度的屈服强度，他们数值一样；Asrsquo;和As分别是抗压和抗拉钢筋面积；h和h0分别为截面几何高度和有效高度；b是截面宽度；as是指从抗拉钢筋合力作用中心到受拉区边缘的距离；asrsquo;是指从受压钢筋合力作用中心到受压区边缘的距离；x是等效矩形应力块的深度。这个公式模型如图1所示。
作为对比，在ACI-318规范[ 2 ]中，相应的内力公式被描述为：
公式中fcrsquo;是标准圆柱体试件的抗压强度（它的大小是150毫米300毫米）；0.85是一个需要考虑的试件和构件之间强度差的因素；其他符号的含义和公式（1）和（2）中相同。
让fcc表示标准立方混凝土试件（150毫米times;150毫米times;150毫米）的抗压强度。基于大量的混凝土试验，对于正常强度的混凝土而言，我国规范中认为fc=0.669fcc而欧洲规范认为fclsquo;=0.8fcc。因此，fc约为fcrsquo;的0.84倍，上述两个公式，相互匹配得很好，这反映了他们在钢筋混凝土柱的内力计算上的一致性。因此，我们只选择其中之一，即中国具体的规范中的公式[ 1 ]，为以下内容的计算模型。
- 失效函数的数值分析
3.1、基于规范的失效函数表达式
对于带拉伸破坏的钢筋混凝土柱，最大弯矩组合确定是其控制荷载组合。一般情况下，垂直作用所产生的轴向力是压缩的。然而，由水平作用所产生的轴向力，由于不确定其方向，可能是压缩或者拉伸。因此，总力矩M和轴向力N可以表示为：
公式中g是竖向荷载；q是水平荷载；a1,b1,a2和b2都是荷载效应系数。
注意：方程式（6a）对应由水平作用产生的轴向力是压缩的情况，（6b）对应轴向力是拉伸的情况。而下列标有（a）和（b）的方程式，也类似于这样，分别适用于压缩和拉伸的情况。
让eg和eq分别表示由g和q所产生的偏心，然后，它们就可以按下式计算：
让RM表示一个给定轴向力的柱截面的抗弯能力，然后，基于方程式（1）和（2），它可以按下式计算：
适用方程式（5），（6）和（9），失效函数就可以被表述为：
3.2、典型框架柱的极限荷载作用曲线（以风荷载为例）
一般来说，风功率谱占有的频率范围是远离那些低层钢筋混凝土框架固定放大器功能的特性的。因此，在以下的分析中，风的作用就可以被视为静态的。
对于给定了结构参数，如跨度、层数、荷载分布、配筋率、截面尺寸等参数的钢筋混凝土框架柱，它的g-q相互作用曲线在公式（10）的基础上可以很容易地导出。例如，在图2中显示的是一些典型的钢筋混凝土框架。他们的风力就应该按下式计算：
公式中lambda;H是指建筑物暴露在外高度的调整因素；W0是一个标准的高度下暴露在外（市区和郊区）的风力；H是基础以上的层高；基于美国荷载规范[ 17 ]和中国荷载规范[ 18 ]，lambda;H如表1所示。
这表明，在一个给定的高度下，在这两个规范中的lambda;H值是非常接近彼此的。结构参数如表2所示。
不考虑二阶效应，通过一个简单的结构分析，荷载效应（弯矩的单位是KNm，轴向力的单位是KN）就得到了，如表3所示。假设fyrsquo;=300Mpa，alpha;1fc=14.3Mpa，他们的g-q曲线就得到了，如图3所示。
可以看出，在极限荷载作用下，各相互作用曲线上存在正相关关系。然而，对于整个相互作用曲线而言，他们的正相关关系的比值有很大不同。在典型的框架中，这样的比例通常是中柱高（见曲线CS1，CS4，CS5和CS6）；而相应的边柱很低（见曲线CS2，CS3和CS7）。
3.3、数值分析综述
在理论分析的基础上，当g在这个范围内的时候，一阶导数dq/dg的值将大于零。这里，lambda;g是一个标准化的因素，并由下面公式给出：
公式中lambda;s也是一个标准化因素，它被定义为：
显然，lambda;s很小。例如，对于表2中的柱子而言，其范围从0.12到0.16。在钢筋混凝土框架结构中，eg通常小于0.5h而eq通常大于0.5h（见表3典型案例），基于公式（12），lambda;ggt;0。这是与确定的范围相一致的，并且在实际极限荷载的情况下，相互作用曲线的正相关部分肯定是存在的。
然而，对于[10,11]中的R-Mg-Mq=0这样一个简单的线性失效函数而言，其中的R通常被认为是轴向力的一个独立的变量，相应的g-q曲线是一条没有任何正相关部分的直线，这在图4中的C中用红色明显标注了出来。
比较了图4（a）和（b）的更为真实的非线性曲线和相应的直线，不管他们的交叉点是位于该非线性曲线的正相关部分还是负相关部分，很明显的是，它们在很大程度上是不同的。某某和某某同时还指出在弯矩和轴向力共同作用下，钢筋混凝土柱的极限状态是非线性的。因此，基于[10,11]中简单的线性失效函数获得可靠性结果是不现实的（见表5）。
- 失效函数的实际非线性模型
4.1、基于级数展开的非线性模型
让qu表示柱子在给定值的竖向荷载g下的极限水平荷载。然后，让g=0用泰勒级数展开，qu的近似函数就用下式计算：
公式中K0，K1和K2分别表示在g = 0时，一阶导数和二阶导数的函数值。它们与结构参数有关，按下式进行计算：
在大多数情况下，公式中K1＞0，K2＜0（eqgt;0.5hgt;eg）
在钢筋混凝土框架的实际设计中，竖向荷载往往限制在一定的范围内，以保证具有一定尺寸的柱可以产生张拉破坏，进而获得较高的延性。在图3中，当g是在这个范围内，qu的曲线具有可用的价值，曲线分别是CS1，CS2，CS4和CS6。对于这些情况，二次扩张是恰当的，在可用范围内最大的错误率约5%。CS1，CS2和CS4曲线的比较与相应的二次扩展，如图5所示。
在钢筋混凝土柱的可靠性分析中，考虑了许多随机效应。然而，内力计算模型和截面几何尺寸的不确定性被暂时忽略了，这主要是由于他们较小的变异系数（COV）（通常不超过0.05，如图[ 11、20 ]中所示）。因此，四个主要的随机变量，即重力荷载g，水平风荷载q,钢筋强度fy,混凝土强度fc在下面的分析中都要考虑。
方程式（15）表明，K0涉及到阻力随机变量（如钢筋和混凝土的强度），而不涉及荷载随机变量（基于公式（7）和（8），eg和eq是独立的荷载值）。因此，K0可假定为失效函数中阻力R。像前面提到的那样，lambda;s很小，为了简化计算，公式（15）至（17）中的2lambda;s可以忽略。在这里，因素K2rsquo;被提出来，它被定义为K2rsquo;=K2fc，然后K1和K2rsquo;既不涉及到阻力随机变量也不涉及到荷载随机变量。因此，它们可以被用来作为确定变量。在此基础上，实际失效函数就可以表示为：
4.2、模型的解释
根据公式（18），标准荷载效应Sn与标准重力荷载gn相一致，标准水平荷载qn和标准混凝土强度fcn由下式给出：
正如前面提到的，在大多数情况下，K1＞0，K2rsquo;＜0。这表明，重力效应的线性比例抵消了非线性比例和风荷载效应。
对于设计实例，通常采用负载效应比来分析总负载效应的相关特性。让q1表示重力效应下线性比例的风效比，q2表示重力效应下线性比例的非线性比，他们按照下式计算：
如果采用线性失效函数，重力荷载效应不能抵消风荷载效应，并且由于非线性比例的缺失，公式只有q1（没有q2）。因此，q2是区分这两个的一个独特的因素。
- 模型的适用性讨论
5.1、变量的概率描述
这里做一个比较，有两个统计模型，一个经常被用在美国规范中的可靠度校准（模型A），另一个用在中国规范中（模型B）。某某和某某比较了这2种规范中g的统计参数，发现它们是相似的，因此在这里使用了一个共同的概率分布。所有变量的统计参数见表4。
请注意，在[ 11 ]中选择的混凝土，平均强度为2760磅（19兆帕）。然而，在混凝土搅拌时需要投入很多。因此，在这里我们采用平均值更大的27.6兆帕的混凝土。此外，选定的混凝土的标准强度，模型A中为20.7兆帕，模型B中为14.3兆帕；选定的钢筋的标准强度，模型A中为276兆帕，模型B中为300兆帕。
5.2、可靠性分析的精度
根据表2和表3中的信息，可以计算出在额定荷载作用下的柱的可靠性。由于失效函数的复杂特性，采用蒙特卡洛模拟法进行可靠性计算。
为了使比较更加直观，CS4的可靠性是通过选择较大的轴承负荷，建立在较低的水平。结果表明，基于我们提出的失效函数模型
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