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道路设计中水平对齐几何的优化和重建
摘要：
本文提出了水平道路对齐优化的总体方案，由切向段和与转变适当连接的圆形曲线组成回旋曲线。 它由一个约束优化问题组成，其目标是函数由沿着布局的积分线给出。 被积函数是表示通过每个点的道路的成本的函数，并且通过考虑不同的成本，可以在该表达式中包括广泛的问题。 为了表明这一点，我们将这种方法应用于三种不同的情况。 这两个案例与设计新的道路布局有关，用于解决一对学术实例。 第三个问题涉及改造现行立法的道路，并以西班牙北部地区道路（NA-601）的重建项目为例进行了解决。
关键词：
道路设计 水平对齐 路线改善 约束优化
正文：
1介绍
实现道路设计的最佳对齐的挑战是一个复杂的问题，在土木工程方面非常重要。 一般来说，目的是获得一个可允许的布局，最大限度地减少工作执行的最终成本。 布局也必须可以接受，并符合每个国家立法规定的限制，以及该地点的固有特征，例如道路必须通过的地区或限制区域。
数学建模和优化技术可以成为寻求最佳对齐的强大工具。如今书目参考文献在这个主题中是广泛的。论文可根据不同方面进行分类。尊重地到优化目标，只有专门用于水平对齐的文献（Jong 等人，2000; Easa and Mehmood，2008; Lee 等人，2009; Mondal 等人，2015; Pushak等人，2016），仅有垂直对齐（Jong和Schonfeld，2003;Hare等人，2014年，2015年）和三维对齐（Chew等人，1989; Jong和Schonfeld，2003; Maji和Jha，2009;Kang等，2012; Yang 等。，2014; Hirpa等，2016）。在成本方面，有些论文以具体的方式工作目标作为交通安全（Easa和Mehmood，2008），长度（Lee 等，2009）或土方工程（Hare 等，2014，2015; Mondal等，2015），而另一些则根据地点（征地，环境等）处理成本(成本，地形等），长度（路面，维护，...），交通安全（可见度，安全超车等）等（Chew等人，1989; Jong and Schonfeld，2003; Maji和Jha，2009;Kang等，2012; Yang et al。，2014; Hirpa et al。，2016; Li等，2016）。这些最后的论文也可以从优化问题的形成分为单一目标（Chew 等，1989; Jong and Schonfeld，2003; Kang 等，2012）和多目标优化问题（Maji和Jha，2009; Yang 等，2014; Hirpa 等，2016）。无论如何，应该指出，土方费用是最重要的经济成本，大多数涉及对齐优化的论文都与土方成本一起工作，并在此基础上进行了研究许多其他优化论文（Easa，1988; Hare 等，2011; de Lima 等，2013; Burdett and Kozan，2014）。最后，优化方法在这一领域也是非常重要的任务，例如在Kang等2012；Li 等2016），可以发现根据这一方面的论文分类。
在对准几何的关注中，文献中已经使用了许多不同的模型。一条水平的路
对齐应该是通过过渡曲线连接的一系列直线（切线）和圆形曲线。虽然在现在有不同的方法（Kobryn#39;，2014），过渡曲线的最佳选择是回旋曲线，其方程是复杂的，并且妨碍获得路径的显式参数化。为了避免这个问题，Chew等（1989）选择多项式方程来调整道路设计。一旦优化过程结束，在最优多边形路线上构建曲线（回旋圆回旋曲线）。在Jong等（2000），Mondal 等（2015）和Hirpa等人（2016）根据直线和圆形曲线组成的对齐决策变量构建，并且在Kang等人（2012）把过渡曲线（回旋曲线）被、并入到水平对齐中，但是没有给出路径的显式参数化。
在这项工作中，我们处理水平道路设计，考虑到布局由切线和圆曲线组成，
曲线与回旋曲线的正确连接。为了获得水平道路对齐出一个的优化问题的方法
我们通过确定决策变量来开始（第2节），这个问题是以前的工作（Vaacute;zquez-Meacute;ndez和Casal，2016）的起点，详细介绍一种从这些变量中计算出对齐的完整参数化的算法。之后，在第3节，我们介绍一个基于将水平对齐设计定义为约束优化问题的标准及计算最优布局的方法。其主要思想在于认为每一个地理位置都是不同的，目标函数是所有地理位置在这条路上的总和。对于货币的广泛解释使我们在这个框架中包含了大量的多样化问题。为了说明这一事实，我们将拟议的方法用于三种不同的情况。在前两个（第4节）我们寻找连接两个终端的最短路径，避免某些障碍（保护区保留或任何一个区域由于高斜坡而闪避）。在这两种情况下，我们通过在简单的学术实例中解决相应的问题来显示我们的表述的有效性。第三个问题（第5节）与道路重建项目有关（特别是，改进一致，以适应现行立法）。在这种情况下，我们以案例研究西班牙北部纳瓦拉地区道路（NA-601）的道路重建项目，并将我们的结果与实际项目进行了比较。最后（第6节），草拟了一些简短有趣的结论。
2水平对齐的数学模型
2.1设计变量
两个给定点之间设计一条道路（a,b）, 要实施的水平道路对准应由直线段，圆弧曲线和过渡曲线的适当组合形成，在我们的模型中将是回旋曲线. 如果道路路线由N 1个切点组成，则明确定义圆曲线的交点（）,半径（）,角度（）,我们定义，N为自然数。在优化问题中决策变量的向量，我们用XN定义整条路径为（如图1）
图1, 两个端点的水平路线对齐、显示决策变量（XN的组成部分）
用切线绘制路径（）。
备注1.如果在a或b的一端（或两者）设计的道路必须连接一条给定的路径，决策变量必须进行小的修改：
- 如果在a点（或b），路线通过半径为的圆曲线连接，变量x1和y1（xn和yn）必须被替换（参见Vaacute;zquez-Meacute;ndez和Casal，2016）为,表示第一个（相应的最后一个）切线到相邻圆曲线交点的距离（见图2（a））。
- 如果在a（或b）与方位角连接的直线部分，变量x1和y1（或xn 和yn）应由代表从a（或b）到第一个（相应的最后一个）交点的距离的（或dn）替换（见图2（b））。
图 2.数据和变量水平道路对齐在初始点（a）或最终点处的直线路径（b）
2.2弧长参数化
考虑到必须是通过回旋曲线连接的直线段和圆弧曲线的联合方程，道路路径可以很容易地参考曲线长度参数。我们假设布局应该以直线段开始和结束，因此我们定义。 此外，我们引入以下功能和符号（见图3）:
图3.在水平道路对齐中涉及的变量的命名惯例
- 给出切线j的方向（和感觉）的单位矢量：
- 切线j的方位:
- 正切i和i 1之间的方位差:
- 圆形曲线i的长度:
- 每个回旋曲的长度线:
- 直线段i与曲线起点之间的连接：
可以清楚地看到（瓦兹克斯 - 梅登德斯和卡萨尔，2016年）：
- i的曲线末端和i 1直线段的开始的连接点：
- 直线段j的长度（从转弯结束j 1到j的开始的定向距离）:
其中j是从点cj1开始并在点tj处结束的向量。
为了是一个正确的设计水平道路线形，以下条件必须满足：
1.圆曲线i的半径和角度必须是非负的，即对于1 ...... N：
2. 圆形曲线的角度必须低于或等于每一匝对应的切线之间的方位角差，即：
3.曲线i 1必须在曲线i结束后开始，即:
备注2.为了保证代表道路对齐设计，应该认为有必要要求长度的圆形曲线（）和回旋曲线（）必须是非负的。 然而，考虑到（1）和（2），这些约束由（3）和（4）自动授予。
如果约束（3） - （5）成立，则在转弯j开始之前的道路对准的长度由下式给出：
因此，道路对齐的总长度由下式给出：,曲线的参数化,弧长参数是映射在算法1中详细描述（可以使用Vzzquez-M endez和Casal，2016提出的方法轻松获得）。
算法1.的计算:
初始直线段：如果计算
对于i=1,hellip;hellip;N:
-进行回旋：如果计算
其中：
*,间的角度见图3.
- 回旋曲线段：如果，计算：
和
直线段：如果计算：
和
3. 水平对齐的最佳设计：一个普遍的公式化
约束（3） - （5）保证是一个明确的道路对齐方式，但显然不是所有的路径都必须被允许。 例如，每个国家立法通常对布局的要素（包括回旋曲线或直线段的边界，两条连续曲线的半径之间的某种关系等）的限制，参见例如AASHTO（2011））。 其他常见的限制是由于某些地区存在，其中路线不得交叉，而其他地区则经过规定。 一般来说，所有这些限制，都可以集合在一起 C是新道路的允许路径}.集合Cad依赖于我们正在处理的特殊问题，从中我们以下列方式定义可接受的集合:
另一方面，追求的目标是设计一个道路对齐方式，在某些技术方面证明是最佳的（最小化长度，土方工程，征用成本，环境影响等）。 目标函数的定义和计算在任何实际应用中至关重要。 为了寻求一个简单而全面的问题，我们介绍一个函数F：Cad—R！ 扼杀每一条道路的经济，环境，... 因此我们定义有：
并且设计连接a和b的最佳水平道路对齐问题包括解决问题：
为每个N=1; 2; ...，并选择与最低值对应的。
数学函数F（就像集合一样）是每个特定问题的特征，并且在许多实际应用中获得一个很好的表达式（汇集所有现有成本）可能是一项艰巨的任务。 例如，在Mondal等人 （2015）通过完整的垂直对齐问题考虑土方费用。 在本文中，为了定义函数F，我们提出域X的每个点都具有价格（成本），因此，存在一个赋予p(x,y)的道路的价格的函数(x,y)的方式。 添加道路所有地点的价格，我们得到布局的总成本
在这种情况下，考虑到函数（由算法1给出）是弧形参数的的参数化，目标函数JN由下式给出：
这可以通过使用合适的数值积分公式进行评估。
由函数p给出的价格概念应被理解为对广泛可能性进行建模的一般函数：可以是经济性（征收价格，停产成本，土方等），也可以是环境，生态或 政治。 这个价格也可以被视为通过某些点的惩罚，这允许通过包括布局不能跨越目标函数的点来简化集合Cad。 最后，p(x,y)也可以是不同类型矩阵的组合（加权和）.
如果我们想要考虑到所有现有的成本，就可以获得与函数F一样的函数p，这可能是一项艰巨的任务。然而，在一些简单的应用中，可以容易地定义函数，如下面的部分所述，具有两个实际的案例。 在第4节中，我们寻找避免障碍物和/或最小化斜坡的最短布局。 在第5节中，我们处理改善现有道路的一致性，以适应现行立法。
4.设计新的道路布局
我们要设计连接两个终端的新道路的水平对齐方式; ，具有以下限制：所有圆弧曲线的半径应至少为50米，直线段必须超过100米，每个回旋曲线的长度应至少为95米。 在这种情况下，可以设置的结果
关于目标函数J，我们研究了两种不同的情况：
4.1尽量减少长度并避免障碍
作为第一个例子，我们有兴趣找到最小长度的道路对齐，并避免侵入区域。 在这种情况下，我们必须认为，如果点在限制区域之外，并且非常高的值（让我们考虑），如果该点位于Aj内，则该域的每个点的价格为1。这导致以下价格功能：
可以通过平滑近似（）逼近该不连续函数p，以保证（7）的平滑度，并使用可微分优化算法来解决问题（6）。 该方法（及其良好的性能）在以下学术示例中说明：
我们寻求从点a=(0,1)开始的最短路径到达点b=（0,1）满足定义可容许集合（8）的限制，避免跨越三个圆心分别为;（见图4）。 为此，我们定义
图4.N-1（蓝色），N-2（红色）和N-3（绿色），切线和限制区域的最佳布局对应于第4.1节详细说明的问题。（为了解释本图中的颜色参考，读者参考本文的网页版本。）
我们解决了N = 1，2， 3的问题（6），使用顺序二次编程（SQP）算法（参见Nocedal和Wright，2006），运行在Intel（R）Core TM i5- 5200U CPU @ 2.20 GHz。 这三种情况的完成过程占用了大约128秒的CPU时间。、
正如预期的那样，最好的解决方案是达到N = 3。 结果的亮点可以在
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