具有随机场性质的连续体的概率非局部损伤模型
摘要：采用非局部连续损伤力学和随机场理论对具有随机场特性的应变软化材料的随机损伤行为进行了数值模拟。通过将初始损伤阈值和局部应变软化行为考虑为一个由边缘分布和相关矩阵定义的二元随机Nataf场，引入损伤过程的随机性。该模型的一个关键部分是引入了两个不同的长度参数:非局部损伤模型的特征长度和随机场的关系距离。通过直接拉伸试验的有限元分析，说明了概率非局部损伤模型。结果表明，试件表现出非对称变形和非线性应力-位移曲线的结构行为。概率非局部损伤模型也能够描述结构的确定性和概率大小效应。
介绍
胶凝材料的失效主要是由于微缺陷的生长和微裂纹的扩展和结合所引起的渐进损伤。由于材料的微观结构复杂且固有的随机性，初始损伤的分布通常是未知的。此外，材料特性、边界条件或载荷的随机性可能会对损伤演化产生强烈的影响。损伤过程中的这些不确定性可能会对异质材料的结构行为和可靠性产生许多影响。因此，采用随机方法准确地预测累积损伤过程，并考虑所有的不确定性是非常必要的。
通过应变软化材料行为，可以对胶凝材料的微观结构损伤进行连续体模拟;即，经过一定的极限，如损伤阈值水平，应力应变呈下降关系[图l (a)]。当应用于经典连续体框架时，任何应变软化模型的一个固有缺陷是场方程不再是椭圆的，数学模型不再是渐进损伤过程的恰当描述(de Borst和Miihlhaus, 1991)。对于这一损失的问题，有限元分析显示出严重的网格敏感性。为了克服这一缺陷，可以使用损伤生长的非局部公式，它本质上在连续体中引入了内部长度尺度(Pijaudier-Cabot和Bazant 1987)。这一概念保留了必要的能量耗散和变形在损伤区域的局部化，而损伤区域不受有限元尺寸和方向的影响。在连续损伤力学的框架内，考虑材料特性和损伤演化参数在空间和时间上的随机分布，可以引入损伤过程的随机性。
引入空间变异性的一种可能的方法是基于微观力学的考虑。假设在微观尺度上有一个简单的随机物质行为(例如，弹脆性)，连续介质尺度上的概率特征可以用标准随机概念(例如，最弱链接概念，丹尼尔的束概念)得到。Mazars(1982)和Mazars等人(1991)提出了一种利用威布尔最弱链接理论的随机损伤模型，该模型基于从微观到连续尺度的过渡来计算损伤起始。结果表明，该模型对非均匀材料的确定性和概率性尺寸效应具有较好的预测效果。Breysse(1990)将损伤演化的概率公式引入连续损伤模型。他的模型基于微观层面上的断裂概率定律(威布里型)，并利用丹尼尔的束概念过渡到连续尺度。该模型可以定性地描述实验结果，表明结构的行为实际上受结构中已有缺陷的强烈影响。然而，这些基于微观到连续能级跃迁的模型在本质上存在一些重要的限制:由于跃迁的复杂性，它们大多局限于一个变量(如损伤阈值)的随机变化，而忽略了空间相关性;它们不能提供完整的统计信息，如平均值和方差、损伤的概率以及对随机变量的响应灵敏度。
第二种更一般、更基本的方法是基于随机场理论和随机有限元(Shinozuka和Yamazaki 1988)。随机场理论为描述随机变量的连续空间分布及其相互依赖性提供了一个合适的框架(Vanmarcke 1983)。随机有限元分析将空间随机变量离散化为随机变量向量，并采用适当的方法预测结构响应统计量(Li和Der Kiureghian 1992;Shinozuka和Yamasaki 1988)。近年来，大多数随机有限元方法都涉及响应的二阶矩分析，即均值分析、方差分析和协方差分析。然而，这种对结构响应的描述并没有为损伤过程提供足够的统计信息，在损伤过程中，失效的概率主要由概率分布的尾部决定。以计算损伤过程的完整统计信息为目标的随机有限元模型十分有限。Zhang和Der Kiureghian(1993)提出了一种基于随机场损伤力学模型的延性损伤弹塑性材料一阶可靠度方法。
在本论文中，利用随机场论、随机有限元分析和非局部连续损伤模型，建立了随机损伤模型。该模型的一个关键部分是引入了两个不同的长度参数:非局部损伤模型的特征长度和随机场的相关距离。为了获得响应统计量，采用了蒙特卡罗模拟方法，该方法由随机场的重复观测集组成，然后根据模拟结果评估响应统计量。
本论文按以下进行论述：首先，对非局部连续损伤模型的控制方程进行了研究。结果表明，非局部理论为捕获应变软化固体中的局部化现象提供了一种合适的正则化方法。在下一部分中，我们将介绍随机场论和随机有限元的基本概念。连续体模型为二维双变量随机场，包括随机应变软化行为和随机初始损伤。最后，通过对二维问题的数值分析，验证该模型的可行性。
非局部连续损伤模型综述
本节给出了非局部连续损伤模型的建立。我们将使用简化损伤模型，其中各向同性损伤与弹性耦合(Mazars和Pijaudier-Cabot 1989)。对于这种模型，本构律可以写成这种形式：
——（1）
其中，C为原始材料的初始弹性张量；分别为应力和应变张量。内部损伤变量D代表微观结构损伤； D是一个标量，对于未损坏，它从0增长材料完全脱粘时将状态设为1。根据（1），D可以被认为是降低弹性特性的一种措施。从应力给出的初始平衡状态，相应的和损伤值Do，可以得出速率本构关系，如 ——（2）
损害增长的条件的情况，如果且，则
——（3a）；
如果或者如果且，则——（3b）
其中，F指破坏演化定律；f为破坏加载功能，（4）
其中K为损害阈值。在初始状态下，采用损伤阈值等于初始损伤阈值； 之后K被假定为在加载过程中，在实体的考虑点x =处达到的平均等效应变的最大值。
如引言中所述，将损伤作为非局部现象处理是一种适合的正则化技术，可用于对应变软化固体中的局部化进行建模（Pijaudier-Cabot和Ba2ant 1987； de Borst和Miihlhaus 1991）。在本文中，破坏载荷函数f为通过平均等效应变A来指定固体的体积，表示为V
——（5）
其中，为两点x和x 之间的分离向量，权重函数。在（5）中，是局部等效应变，其中定义了材料中累积的拉伸应变，由Mazars（1984）和Mazars和Pijaudier-Cabot（1989）定义。如果，则； (6)，其中，为主应变，为代表体积，对于无限域，其记为 （7）
我们假设 作为权重函数，其中lc 为所谓的特征长度。该长度比例尺是控制局部区域宽度的模型参数。 尽管在处从1突然下降到0在物理上是不合理的，但是可以证明，这种简单类型的权重函数的应用可以在损伤定位开始时适当地规范速率边界值问题。 如Carmeliet和de Borst（1994）所述，对统一权重函数的假设已经放宽，其中使用了平方指数权重函数。 通过（7）和（8），二维问题的代表体积等于尺寸为的正方形。 根据实验，特征长度，其中是材料中的最大异质性（Baant和Pijaudier-Cabot 1989）。
在局部尺度上，我们假设线性弹性线性软化行为[图.l（a）]。 对于这种行为，损害的演化定律变为
(9)
其中，初始损害阈值；且是剩余力全部耗尽的极限应变。局部尺度上的材料参数可以从单轴载荷下拉伸试样的整体载荷-位移曲线得出。 对于砂浆，整体响应可通过线性的峰前和峰后行为来近似[图1(B)]。 这种行为可以通过三个全局参数来完全描述：杨氏模量，抗拉强度和断裂能（其中w为非弹性位移）。当结构效应（Rots and de Borst 1989; Hordijk 1991; Baant and Cedolin 1993）可以忽略不计时，整体结构行为只是本构行为在局部尺度上的转换，局部材料参数由以下公式定义：
（10a，b）
（11）
样本范例
非局部连续介质损伤模型已通过有限元代码实现。 为了求解非线性平衡方程，使用割线刚度算法对最大局部应力进行局部收敛测试[有关详细信息，参阅Carmeliet（1992）]。 根据式（5）计算每个元素的平均等效应变。 靠近自由边界的位于实体外部的区域将从积分中删除。 自由边界的此过程听起来很合理，但仍需验证。
为了说明非局部连续损伤模型的良好性能，我们解决了三点弯曲梁的二维平面应力问题。 该梁具有的长度和的高度。 逐步加载技术用于规定的加载点位移。 负载计算为支撑处反作用力的总和。使用的材料参数是杨氏模量E = 6,050 MPa； 初始损伤阈值10-4; 极限应变；特征长度= 10 mm； 泊松比 = 0.3。为了研究网格细化对响应的影响，考虑了使用12个（网格1），60个（网格2）和120个（网格3）分层的不兼容的四节点30层板的三个网格。比较了使用局部（lc = 0）和非局部损伤模型的计算。网格细化研究的结果以整体载荷-位移曲线的形式在图2中给出。非本地结果与本地结果明显不同。局部解决方案表现出虚假的网格依赖性和不正确的收敛性：网格优化后最大负载和能量消耗降低。相反，对于非局部模型，我们观察到网格细化后可以适当收敛到唯一解。当我们查看120个单元的网格在最大载荷下梁的损伤分布时，局部解决方案与非局部解决方案之间的差异要大得多。在局部解决方案中，损坏几乎始终限于束中间的分层元件。细化网格后，损坏区域的宽度趋于为零，从而导致失败而又不耗散能量。从物理角度来看，这是不现实的。在非局部解中，损伤传播到大量元素上，并且与网格细化无关，这证实了Pijaudier-Cabot和Baant（1987）的发现。
概率框架-随机场公式
在确定性模型中，通过两个局部材料参数来描述（9）中的损伤演化方程F：初始损伤阈值和极限拉伸应变。为了获得损伤演化方程的概率公式，我们 将考虑局部材料参数和。 作为随机分布在实体上。 在该公式中，初始损伤阈值可被视为固体中随机初始损伤的量度，即最终应变。 作为随机局部应变软化行为的度量。 弹性模量E被认为是确定性的材料参数。
我们假设随机材料变量和。 可以表示为二维Natal类型的随机场（Der Kiureghian and Liu 1986）。 我们假设该场是均质且各向同性的，这意味着概率仅取决于相对位置，而不是绝对位置。 纳塔夫随机场的特征在于边际分布和，以及相关矩阵：
（12）
其中，是点x和x 之间的分离向量;分别为的自相关系数函数;分别是和的互相关系数函数。
对于初始损伤阈值Ko，假定三参数威布尔分布函数为
（13）
其中，是威布尔参数;为初始损伤阈值的下限。这种分布的选择基于以下物理考虑：初始损坏阈值将显示有限的下限，而不是无限的下尾； 初始损害很可能是不对称分布的； 宏观上的初始损害最大的微观结构缺陷强烈地影响传感，因此将遵循极值分布。
假设自相关系数函数与非局部模型的权函数具有相同的形式 ， （14）
其中，为相关距离。尽管从/2的1突然下降到0在物理上是不现实的，但是当有关的可用信息受到限制时，可以使用这种简单的模型（Vanmareke 1986）。统一相关系数函数的假设已在Carmeliet and de Borst（1994）中得到了放松，其中使用了平方指数相关系数函数。现在的问题是将引入的两个不同的长度参数组合在一起：非局部损伤模型的特征长度和随机场的相关距离。两种长度参数都是从微观水平向宏观连续水平过渡的结果。虽然特征长度仅取决于缺陷的典型尺寸，但是相关距离取决于尺寸以及频率，即相继缺陷之间的距离。在本文中，相关距离被认为等于10mm。基于初始损伤阈值与最终应变之间的假定关系，得出边际分布以及相关系数和 ， （15）其中，为随机材料变量，独立于Ko且均值均布。通过改变的方差，可以调整边际分布和相关系数。
有限和随机元实现
计算涉及应变软化行为的结构的响应统计量的一种明显方法是执行蒙特卡洛模拟方法，该方法包括重复生成随机场的观测集，然后根据有限元分析的确定性结果评估响应统计量。
对于涉及随机场属性的有限元分析，有必要将连续随机场离散化为随机矢量表示。这种离散化涉及将结构划分为几个随机元素，并通过随机变量表示元素内的随机场。 Li和Kiureghian（1992）最近提出了对现有离散化方法的批判性评论。我们将使用中点方法（Der Kiureghian and Ke 1988）。在这种方法中，随机元素域内的场由表示该元素中点处场值的随机变量描述。假定字段值在元素内是恒定的。
该方法基于以下假设：元素内随机变量的变化足够小，可以用恒定的字段值表示。正确地描述随机场的适当随机网格划分主要取决于相关距离的值（Liu和Liu 1993）。根据Harada和Shinozuka（1986），最大元素大小被选择为相关距离的一半。与有限元方法类似，在网格细化后，可以表示随机场的精度更高。但是，使用细网格可能会导致变量之间的接近完美相关，从而导致数值不稳定（Mahadevan和Haldar 1991）。因此，随机单元网格将不一定与有限元网格相一致，而有限元网格的选择使得可以准确表示应变场的预期梯度。在本文中，考虑了一个独立的大小为 / 2的随机元素网格，该网格大于或等于有限元网格，因此随机元素是一个或多个具
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