小学建模：帮助青年学生数学上看世界
原文作者：Susan J. Lamon 单位：Marquette University, USA
在本章中，我考虑了以下问题：“在小学阶段，什么样的数学经验为学生提供了进行数学建模的准备？”认知研究表明，促进有意义学习的活动实际上是那些促进数学思维、科学精神和数学能力的活动。使用一些基于当前有关人们学习方式知识的通用原则，教师可以着重发展日常生活的提问技巧，从而使年轻的学生在学习基本的数学内容和过程时发展数学认识方式。
介绍：
建模是一项复杂的活动，在这项活动中，我们无法预定建模者的路线，也无法从任何有利位置看到（在心理上）总路径（Resnick，1987）。尽管我们可以识别出这种高阶过程，并且可以判断所解决模型对解决问题的好处，但我们无法为将年轻学者融入重视数学建模作为一种生活方式的文化规定确切的方法。
关于任何教学如何或是否产生学习的更普遍的问题同样难以捉摸。数学老师一直希望教会学生批判性和创造性地思考、研究、分析、逻辑推理、解决问题、解释、反映、完善和概括。然而，经过数百年的良好意愿，我们所了解到的是，在教与学，了解和珍视自己的东西以及帮助他人了解和欣赏它之间，存在着巨大的鸿沟。学习理论和教学理论之间没有直接联系；第一个是描述性的，第二个是指令性的的（Romberg＆Carpenter，1986）。
在过去四十年左右的时间里，认知研究极大地提高了我们对人类学习的理解。认知研究的影响是如此引人注目，以至于近年来，意图和结果之间的传统鸿沟被诊断为不幸的且为了目的而误用一种手段（Barr＆Tagg，1995）。学校和大学一直致力于提供指导，而不是促进学习。
现在可以概述一些指导原则，以弥补认知研究和课堂实践之间的鸿沟，也就是说，我们可以描述最有可能发生学习的条件。我们过去一百年来所知道的教学根本不支持非算法、复杂、费力、自主、自我调节的推理和解决问题的方法，在这些方法中，学生必须施加含义，运用细微的判断力并在其他选择中做出决定（Resnick，1987） 。尽管没有适用于教师的“使用方法”手册，也不能保证每个学生都会学习，但至少，数学教学应基于与认知研究意义最相符的条件。
在本章中，我将用认知研究为我之前给小学老师指定的一些指导性原则提供理论依据，这些指导原则的目的是促进学生对数学内容和过程的理解，并将整个教育过程编排为数学形式。一种了解的方式，正如毕晓普（1988）所观察到的：
数学上的教育不仅包括教他们（学生）一些数学。“做起来”更困难，问题和难题也更具挑战性。它要求对数学所依据的价值观有基本的认识，并认识到对儿童进行价值观教育的复杂性。我们不仅仅要教他们数学，我们还需要教他们数学知识，通过数学教育他们，并用数学教育他们。
通过有意识、有目的、持续的努力，教师可以通过他们提出的各种问题改变学生对数学的取向。通过培养各种各样的问题，所有的问题旨在促进学生与数学的互动，其水平远远高于教科书中的预期，我项目中的教师使用这些指导方针来改变他们的教室。在制定了指导原则的基本原理之后，我将提供一些容易纳入日常课堂活动以帮助的问题的例子，以学生创造理想的数学意义、态度、工作习惯和价值观。
小学学生的适当目标
在小学阶段，学生会遇到他们最早的正式经历，并且在学习基本内容和技能时，最有说服力的变革案例更适用于课堂互动的本质，而不是目标和内容。这主要是因为互动是态度和价值观以及数学思维框架的载体。科学精神由七个基本价值定义（Wolfle，1966），同时也是促进解决问题和学习的教育的总体目标：
- 渴望了解和了解
- 质疑一切
- 搜索数据及其含义
- 验证需求
- 尊重逻辑
- 处所的考虑
- 考虑后果。
弗洛伊德（1978）将这种精神描述为与技术和科学仪器截然不同的事物，而皮亚杰（1969）将其称为实验精神和发明精神。面向世界的方向正是推动数学建模过程的心态。但是，这种数学上的想法并非来自偶然的过程。像数学家那样思考和行动的社会和心理方面（Dreyfus，1990）不是偶然发生的，必然是由老师有计划地协助和促进的。
除了增强我们对人类学习理解的认知科学研究以外，其他几种同时存在的相互作用的力量也有助于促进数学培养，并为其提供有价值的观点（Bishop，1988）。这些包括皮亚杰（Piaget）的建构主义，维果茨基（Vygotsky）对社会学习的重视以及弗赖登塔尔（Freudenthal）的数学化过程。
皮亚杰：对皮亚杰的建构主义认识论（例如冯·格拉斯费尔德，1987年）及其在教学和学习环境中的阐述和应用（例如，戴维斯，马赫和诺丁斯，1990年）重新产生了兴趣，提出了我们需要“转变观念”的观点。强调从学生对老师所做的“正确”复制到学生对自己经验的成功组织（冯·格拉斯费尔德，1983年，第51页）。让别人为学生做我们所说的、我们希望他们为自己做的事情，这是再也不能接受的。当别人在每一步都在表演剧本时，你已经无法进行更高层次的思考（Resnick，1987）。
维果斯基：维果斯基作品（1962，1978）的译文对教育心理学产生了重大影响。 维果斯基将认知发展与社会现象相关联，强调语言和话语在中介学习中的作用。当想法被分享给别人，并被严格审查和完善时，这些想法便是社会建构的。人际交往和个人内部的建构-对于自己来说还不够，在获得有意义的概念、过程和价值观方面发挥着互补的作用。在向他人解释时，学生会对他们的想法产生热情。他们重视并推广他们可以捍卫的想法。Pea和Greeno（1990）认为，学习参与数学语言是该学科学习的重要方面，并且在公开可用时具有诊断的价值。学生的参与（或忙碌）不能代替话语，因为这并不意味着学生正在发展支持新学习的知识（Prawaf，Remillard，Putnam和Heaton，1992）。需要动手操作的任务和需要动脑的任务之间存在重大区别（Greeno，1991）。
弗赖登塔尔：在20世纪80年代，数学教育者试图超越一般问题的解决，转向数学建模，以确定适当的数学活动（例如，美国数学协会，1981； Cockcroft，1982）。乌得勒支大学（后来的弗赖登塔尔研究所）开展的工作加强了这种努力，该研究所鼓励将数学化作为进行数学的和合法的数学手段 ，跨越所有年级（例如弗赖登塔尔，1978年，1991年; deLange，1987年）。数学化是一种渐进的组织和构造活动，其中，现有的知识和技能用于发现未知的规律性、关系和结构（deLange，1987年），它要求学生与要组织的情况之间进行积极的对抗。它始于最简单的情况，然后逐渐演变为更高和更复杂的组织形式，在这些组织中，我们施加的下层结构变得容易构造自身。
认知研究告诉我们什么
认知的一个基本原则是学习需要知识(Resnickamp;Klopfer，1989)，在知识能够产生之前，即在其被用于解决问题之前，提供一种解释新情况的有用方法，并支持思考和学习，必须将其纳入现有的知识结构中。这种知识无法被告知，而挑战就在于其中：我们如何帮助学生开始发展生成性的知识结构，以便以后他们可以独立学习和解决问题。显然，处理这种辩证关系的唯一方法是从早期阶段开始，以促进形式化的概念和程序，同时允许数学化。
学生上小学时所拥有的知识可能存在缺陷。当孩子上学时，他们已经对周围的现象有了复杂的先入为主的观念（Wellman，1990）。它们不仅吸收信息并将其放入存储库中。相反，信息的过滤、组织和解释、使用由他们过去的经验塑造的模型、权威人物的有力雕刻、令人难忘的经历，以及个人对事物运作方式的直觉。 这些学生的概念可能包括强大的、有缺陷的理论和“buggy”过程(Brownamp;Van Leh 1980年；Schoenfeld，1987年)顽固地抵制变革。 如果是这样，它们可能会干扰学习新概念。
数学任务的心理特征无法简化为任务的数学性质。也就是说，在学生对特定概念的理解与成年人的知识之间或在数学定义中表达的概念之间可能存在差距。与其默许学生以我们期望的方式理解想法，更重要的是要勾勒出他们先前的理解，即他们知道什么以及如何知道它们。学生可能有一些需要改进的原始概念，或者他们有一些明显有缺陷的想法。发生这种情况时，设计一个会引起学生参与麻烦概念的问题很有用。当学生的理解不适合应对情况时，会导致认知冲突，因此学生必须在解决问题之前修改自己的想法。这就是皮亚杰的平衡理论（Flavell，1963）。
学习是对新的理解或新的理解，即完善或加深以前学到的东西。理解是学习的最基本特征，包括在思想，事实和程序之间建立有意义的联系。当知识被很好地集成时，就意味着它成为系统的一部分，然后被用来支持进一步学习，它是强大而智能的。它增加了自己的力量和效力（Resnick＆Klopfer，1989）。换句话说，现有知识与新的有意义的知识之间具有相互促进的力量。
比较专家和新手在各个领域的表现的研究强调，专家不是聪明的人或有思想的人，或是比其他人记忆力更好的人。实际上，他们拥有丰富的知识库，可以支持他们所做的一切。他们具有查看新手无法理解的重要模式和关系的能力，并能够计划多步骤任务，因为他们的知识井井有条且相互联系。通过专家研究，我们已经意识到对事实原则的理解是必要的，但还不够：在将信息用于更高层次的思考和解决问题之前，必须将事实组织成有意义的框架。为了说明有意义的组织，Donovan，Bransford和Pelligrino（2000年）考虑了地理分布的情况。任何学生都可以在地图上快速，准确地填写州，城市和国家/地区的名称，但是如果删除了边界，任务将变得更加困难。一个了解边界通常会在自然现象（例如高山或水域）将人分隔开的地方以及城市出现在有利于沿河，湖泊和沿海港口进行贸易的贸易，将在难度更大的识别任务上胜过新手。
在数学中，这种结构和对重要关系的整体把握是弗赖登塔尔数学化过程的目标。通过组织和表示一种情况，我们能够看到（理解）以前无法看到的事物，并且当引入并运用适当的数学工具和过程时，这种结构化过程会越来越深入。
基于过去几十年的认知研究和有影响力的理论建立了这一基本原理后，我得出本章的核心问题：什么样的课堂活动可以帮助小学生建立能力、价值体系和知识，以使他们能够参与数学建模？答案是，学生学会通过思考来思考，并通过施加结构来实现数学化；他们需要在学习数学的概念、过程和工具的同时，让自己以及与他人一起参与这些过程。由于当前的教科书无法提供足够的高阶活动，因此教师需要其他资源。作为一名研究人员，我发现好问题对鼓励孩子思考、推理和数学化有很大帮助，我鼓励老师围绕认知研究支持的六个目标发展他们的提问技巧。通过有意识的、持续的、以目标为导向的努力，教师成为了自己的最佳资源，可以帮助年轻的学习者以数学的方式看待世界。在下一节中，我将举例说明一些用于指导老师提问的原则，并举例说明基础老师根据这些原则为学生设计的有思想的活动。
支持有意义的学习的实践：欢呼计划
我要求小学老师每天在数学课上加入一个新问题。问题应在缩写为CHEERS的字母表示的六个字母之间轮换。应针对数学内容和目标精心设计每项活动，并应注意该活动的有效性，以便下次使用时可以对其进行改进。这个简单的过程使教师思考真正重要的是学生的学习，以及如何促进学习。以下示例来自使用CHEERS原理来加强学生数学课程的基础老师。
C 挑战误解
H 开动头脑
E 探索想法
E 扩展想法
R 演绎推理
S 结构逐步加深
挑战误解：5年级
问题：松鼠（图1）
目标：阐明中点与其他两个点之间的区别
内容：几何
笔记：当我的学生谈论线段上点的位置时，他们交替使用点的中点和中间点的概念，就好像它们是同一意思一样。这可能是误解，或者是不完整的概念。此问题旨在帮助他们并肩面对两个想法并加以区分。
这个难题激发了人们的兴趣，学生们努力学习，直到他们解决了。我没有宣布困惑的原因，但是，当他们完成后，学生们知道了啊哈！使他们克服了最初的障碍，以便他们能够继续解决问题的经验是注意到中点与端点之间其他点之间的差异。
--------------------------------------------------------------------------
五个松鼠连续坐在篱笆上。从以下线索中找出他们坐的顺序：
1.Click与Ajax的距离与她与Bushy的距离相同。
2.Edgar坐在Dolly和Ajax之间。
3.Bushy坐在Edgar旁边。
4.Edgar不坐在Bushy和Dolly之间。
-----------------------------------------------------------------------------------
图1 松鼠问题
挑战误解：3年级
问题：拖拉机（图2）
目标：挑战关于车轮尺寸，距离和旋转之间关系的误解
内容：数量关系
笔记：当我们在教室里使用直轮进行测量时，我的学生
剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
英语原文共 15 页，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
资料编号：[269299]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word
以上是毕业论文外文翻译，课题毕业论文、任务书、文献综述、开题报告、程序设计、图纸设计等资料可联系客服协助查找。
