初中生在解决几何问题的视觉表征能力鉴定研究
原文作者 C T P Utami, Mardiyana, and Triyanto 单位 塞贝拉斯马雷特大学
摘要：学生的视觉表征能力指的是能够创建几何图形，以便阐明问题并轻松完成的能力。使用视觉表征有助于学生解决问题。它在数学教育中对培养学生的理解能力起着至关重要的作用。本研究旨在了解学生解决几何问题的视觉表征能力。采用描述性定性方法，研究对象为33名穆罕默迪亚1号苏拉卡塔初中8年级的学生。通过数学表征能力测试和访谈法收集数据。数据分析表明，27.27%的学生具有较高的视觉表征能力。同时33.33%的人视觉表征能力中等，39.40%的人视觉表征能力较低，基于上述结果，大多数学生没有机会表达自己的想法，这使得他们无法回答与老师给出的例子不同的问题。
1、引言
数学导论是学生必须掌握的一门重要知识。除了数学的重要性外，穆罕默迪亚1号苏拉卡塔初中学生的数学成就能力还很低。这可以从全国考试的数学平均分44.78分（D类）中看出。如从测试能力判断，几何与测量材料处于最低的水平。几何材料与日常生活息息相关。教师在日常生活中必须重视几何材料。Cass、Cates、Smith、Jackson都揭示了与日常生活相关的几何材料。为了将来的数学课程做准备，所有的都希望通过可视化学习几何图形来改变形状，并应用几何建模来解决问题。
教师在学校里起着重要的作用。他必须培养学生解决数学问题的能力，特别是在几何材料方面。如果没有足够的几何知识和解决问题的技能，学生就无法满足获得文凭的要求。解题在数学学习中起着重要作用。数学学习的主要目标是让学生有能力解决问题。解决问题是学生为获得正确的解决方案所做的努力。如果学生具备这些技能，并将其作为数学教育的重点，那么解决问题的过程将更加成功。几乎所有的领域都是要解决问题的技能。因此，学生必须掌握解决问题的技能。
布伦纳声称，一个成功的解决问题的过程取决于问题表征的技巧。表征被视为解决数学问题的中心。Siska指出，这是解决问题过程中的第一步。无论是学生解决数学问题的能力，还是学生与他人交流解决方案，表征能力在理解数学方面都很重要。良好的表征能力是获得解决问题的正确解决方案的关键。学生改变表征的能力将影响他们寻找解决方案的技能。没有表征，学生很难解决数学问题。解决问题能力比较强的学生是那些擅长图式表征的学生。表征形式包括视觉、符号、和口头变现。图式表征是视觉表征的一部分。强烈建议在数学学习中使用视觉表征。这与Yungamp;Pass的研究结果一致，该研究揭示了视觉表征在数学学习中很重要，其中之一就是在数学中交流思想。视觉表征可以帮助学生阐明信息。因此，在解决数学问题时，教师必须教授和训练学生的视觉表征技能。在本研究中，视觉表征是学生创作几何图形以阐明问题并促使其完成的能力。Hoogland的研究结果表明，学生在解决问题的过程中使用视觉表征时表征的更好。然而只有当学生的视觉（图式）表征与解决问题所需要的数学模型相关且一致时，才能更好的做到这一点。当学生使用不太相关的视觉（图式）表征时，对他们表征的影响将变为负面的，根据相关研究的结果，本研究旨在确定初中生解决集合问题的视觉表征能力。
2、方法
本研究采用了描述性的定性研究方法。本研究的结果是对学生视觉表征能力进行鉴定的描述性资料。采用目的性抽样技术进行抽样。本研究的受试者是33名来自穆罕默迪亚1号苏拉卡塔初中八年级的学生。收集数据通过数学表征测量和访谈完成。进行访谈以阐明从测试中获得的数据。在分析数据前，研究人员首先用三角测量法确定了数据的有效性。经过三角化处理后，对数据星星了三个阶段的分析，即数据简化、数据表证和结论绘制。数据简化目的是对视觉表征相关的数据进行分类和处理。此外，在得出结论之前，数据以描述性的形式呈现。视觉表征测试评估指南见下表1.
表1.视觉表征能力测试评估指南
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Skor 视觉表征 |
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0 没有答案/答案不匹配问题/没有正确的 1 创建的图式没有关于大小的信息（没有注释） 2 创建的图像大小不合适 3 根据大小信息精确绘制 |
根据视觉表征能力测试的评估准则，学生能力的测量表可分为表2所示的类别。
表2学生视觉表征测量表
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视觉表征 区间 |
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高 X＞4.01 中 2.16le;Xle;4.01 低 X＜2.16 |
3、结果与讨论
将数学表征测试的结果中获得研究数据，从视觉表征能力角度进行分析，并以描述性的形式呈现，将其作为对本研究的描述。整个数据如表3所示。
表3学生视觉表征能力分类
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视觉表征 频率 （%） |
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高 9 27.27 中 11 33.33 低 13 39.40 |
在表3中可见，高视觉表征能力类别有9名学生，中视觉表征能力类别有11名学生，低视觉表征能力类别有13名学生。低视觉表征类别人数高于中、高视觉表征类别。这是因为学生们仍不习惯用图式的形式来表征问题。学生们也被教师教的问题的例子所迷惑。教师没有培养和发展学生在处理问题时的视觉表征能力。在解决问题的过程中，培养视觉表征能力的教学方法很重要。视觉表征在形式理解和实践理解之间起着中介作用。学生很少使用视觉表征（图式）来帮助他们思考解决问题。Guler和Ciltas指出，在数学的教育中，视觉表征信心被认为是一种有效的表征过程，特别是在解决问题时。因此，视觉表征并没有被用作思考和解决问题的工具。
通过问题解决，学生可以培养数学表达能力。表征极大地影响学生解决问题的方式，特别是在视觉表征中。在数学学习中，使用视觉表征可以增强概念理解。众所周知，数学问题有多种方法。教师给出的方法将影响学生解决相同问题的方法。学生们仍然不理解如何在数学问题的表征中表征出现实世界的问题。一个人将一个表征更改为另一个表征的能力将影响到他找到解决问题方案的能力。图1、2、3显示了学生对视觉表征能力测试的回答。
3.1.分析既有较高视觉表征能力的受试者（S1和S2）在解决给定问题时，S1根据指令用视觉表征形式表征，即画出风筝和梯形图。对于第一个问题，S1立即构建风筝，然后S1生成一个位于风筝边缘的矩形。做一个矩形来盖住风筝的框架。别忘了根据问题写下确切的尺寸。在第二个问题中，S1揭示了绘制梯形建筑过于容易。S1能够正确的构建梯形，并且能够根据问题写入测量值。S1也显示不是所有的学生都能画出一个梯形建筑。这是因为如果学生在阅读问题时不小心，那么他们在放置测量值时就会出错，因此构建不正确，这也会影响答案。在第一个问题中，S2画了一只风筝，但他/她画得不合适。S2写风筝的尺寸不够透彻。在第二个问题中，S2能够适当地绘制梯形。S2能够根据问题中的说明写下风筝的大小。在第二个问题中，S1和S2都成功地适当地绘制了梯形。根据《视觉表征能力评估指南》，在第一题和第二题中，S1各得3分，能够根据尺寸大小精确画图。在第一个问题中，S2的得分为2，即图像的大小不正确。在第二个问题中，S2的得分为3，能够根据大小信息精确绘制，视觉表征有助于学生发展概念。视觉表征被用作探索工具。在数学学习和教学领域，视觉表征作为一种交流数学的手段发挥着重要作用。因此，可以说S1以可视形式（图式）成功地表征了问题。同时S2在第二个问题中成功地表征了视觉（图式）问题。
（a） （b）
图1.学生的答案具有很高的视觉表征能力（a）S1的答案（b）S2的答案
此外，在解决问题时，S1可以正确解决这两个问题。另一方面，S2能够恰当地完成第二个问题。在第一个问题中，S2错误地计算了风筝边缘矩形的宽度。这个长方形用来盖住风筝的框架。Brown和Hutely揭示了数学中塑造图像的能力被认为是解决数学问题的有效方法。在描述的基础上，第一个问题S1可以正确地表达风筝图像的表征形式。同时，S2不能正确地表达风筝图像的表征形式。在第二个问题中，S1和S2都可以正确地表征梯形图像的表征形式。这意味着S1和S2可以将现实世界中的具体事物建模为抽象概念。数学表征是将现实世界中的事物建模为抽象概念和符号的过程。首先以图式的形式表征问题将使问题更容易解决。视觉表征有助于主体解决问题。使用视觉表征（图式）可以提供解决问题所需的信息。David和Tomaz指出，视觉表征（图式）在完成几何任务中很重要。
3.2.对第一个问题中视觉表征能力中等（S3和S4）的受试者进行分析后发现，S3很难理解问题。S3很难理解“在纸的边缘延伸4厘米以覆盖风筝的框架”这句话。所以S3只能制作风筝的图像。即使如此，S3也不会写下测量值。这是因为S3不用于在绘图中包括大小。在第一个问题中，S4表明在理解问题时没有遇到任何困难。然而，S4没有仔细阅读问题。S4错误地写下了“长对角线和短对角线交叉点的大小，该点位于距离最长对角线末端18 cm处。”根据评估视觉表征能力测试的指南，对于第一个问题，S3得1分，也就是说，图像制作时没有任何尺寸信息。同时，第一个问题，S4得2分，即图像尺寸不正确。在第二个问题中，S3成功地绘制了一个梯形建筑的大小。但图像不整齐，画的长度也不一样。另一方面，S4只画了一个没有尺寸的梯形。S4没有写它的大小，因为S4已经理解了这个问题。视觉表征给了学生不同的理解。根据视觉表征能力测试的评价准则，第二个问题S3得2分，即图像尺寸不正确。同时，S4得1分，也就是说，图像是在没有任何尺寸信息的情况下生成的。从整洁度和形状来看，S4受试者产生的图像不同于S3受试者。
（a） （b）
图2.学生中等视觉表征能力的答案（a）S3的答案（b）S4的答案
当完成第一个问题时，S3只能计算风筝的面积。S3无法回答问题。这是因为S3无法理解问题中的句子。S4可以完成问题，但答案不正确。S4错误地写了长对角线和短对角线交叉的长尺寸。S3和S4只能正确回答当计算风筝的宽度时。在现实中，擅长解决问题的个人依赖于视觉表征。视觉表征是数学理解的核心。Zhang和Norman的研究表明，使用视觉表征可以加深对学生的理解。在第二个问题中，S4可以适当地完成问题。S4可以计算梯形的面积和周长。同时，S3只能计算梯形的面积。S3没有成功地观察梯形的周长。S3用勾股定理求未知边的长度是错误的。在解决问题的过程中使用可视化表征并不总是有效的，并且可能导致解决方案出错[9]。这个错误是因为S3在绘制梯形构建时不小心犯下的。如果S3图是正确的，它将使计算过程中的误差最小化。
3.3在第一个问题S5和S6中，对视觉表征能力较低的受试者（S5和S6）的分析未能成功地以图像的形式表征问题。而S5则以菱形图像的形式表征了一个问题。S5不理解风筝和菱形的不同形状。在答题表中，S6没有为第一个问题写任何答案。S6声称难以理解预期问题。这是因为s5和s6不喜欢数学，所以s5和s6在学习过程中不注意老师。根据Lamudany的研究，数学是一门无聊的学科。同样，Wikado的研究指出，55%的学生说数学很难。因此，S5和S6在理解数学方面存在困难。根据视觉表征能力测试的评估指南，第一个问题S5和S6的得分为0，即没有答案/答案与问题不匹配/没有任何问题是正确的。在第二个问题中，S5能够画出一个梯形建筑，其尺寸为。S5生成的图像远不整洁。这是因为S5不使用尺子绘制，因此另一侧的长度几乎相同。在采访时，S5声称自己有一把尺子，但S5并没有使用尺子，因为画图的时间会更长。在第二个问题中，S6可以画一个梯形，但S6没有写它的大小。S6在放置问题提供的尺寸时遇到困难。根据视觉表征能力测试评估指南，对于第二个问题，S5得2分，即图像尺寸不正确。在第二个问题中，S6得1分，即图像没有任何尺寸信息。
（a） （b）
图3.学生视觉表征能力差的答案（a）S5的答案（b）S6的答案
S5和S6无法解决第一个问题。S5和S6很难理解问题中的已知内容，因此S5和S6无法回答问题。在第二个问题中，S5和S6增加了。S5和S6计算梯形的面积和周长，即使答案仍然错误。为了搜索梯形的S5和S6，直接添加问题中已知的内容。S5和S6对此材料仍缺乏理解。此外，S5和S6显然在计算操作方面仍然存在困难。根据Widakdo[24]关于学生数学理解困难的研究，有两个因素：教师因素和学生因素。教师的因素是教师在传递材料时不清楚，而学生的因素是学生不喜欢数学。教师在这件事上起着重要的作用，教师必须改变学生对数学的看法。具有较低问题解决能力的学生在陈述时总是会遇到困难。
- 结论数据分析
结果显示，高视觉表征学生占27.27%，中等视觉表征学生占33.33%，低
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