HPM视角下数学拓展课的研究
——以《盈亏问题》为例
原文作者 John Fauvel 单位For the Learning of Mathematics 11,2 (June 1991)
摘要：在当前的教育大背景下，随着数学文化在数学教育教学中的地位逐步上升，将数学史融入小学数学教学成为了当前数学教育发展的必然趋势；为了满足新时代小学生全面发展的需求，小学数学拓展课的课程改革不断推进，将数学史融入小学数学拓展课能够发展学生数学核心素养，并且快速适应知识和经济都迅猛发展的新时代格局。目前我国HPM课堂教学存在“高评价、低应用”“知易行难”的现状，主要是因为在实施HPM课堂教学的过程中存在着一些问题，因此需要HPM专家与一线教师进行合作，共同研讨出成熟的小学HPM课例，鼓励更多教师尝试着将数学史融入到数学课堂教学中。
本文选取了四年级下册拓展课内容盈亏问题这一课时进行HPM课例研究，经过选题与准备、研讨与设计、实施与反馈、整理与写作四个阶段最终生成了一个较为成熟的HPM课例，有效验证了HPM课堂教学的效果，同时也为一线教师进行HPM教学提供了有效的教学设计参考，本文也对教学实施过程中出现的问题进行了分析、总结、反思，提出了相应的解决措施，笔者自身在教学实践的过程中专业发展得到了一定程度的提高。
关键词：HPM; 数学拓展课; 盈亏问题
几十年来，甚至几百年来，每一代人中都有一些声音呼吁在数学教学中使用历史的价值和重要性——但到目前为止，这种见解还没有在教学实践中牢固而广泛地扎根。通过比较1989年英国政府为公立学校制定的英国国家数学课程的内容和指南以及本世纪初的一些观点，可以最清楚地看出这一点。
数学的历史方面尚未在学校的教学中找到合适的位置。[...] 每个男孩[（在整个报告中，“男孩”一词被认为是指任何性别的学生。）]都应该了解他所研究的学科中更人性化和个人化的一面数学史将对我们制定学校教学大纲有所帮助。[...] 建议：]数学课堂上应悬挂伟大数学家的肖像，教师应经常在课堂上提及他们的生活和调查，并对数学发现对文明进步的影响做出一些解释。
数学协会委员会报告，1919年
对数学史知之甚少的教师往往孤立地教授技术，与产生这些技术的问题和想法或由此产生的进一步发展无关。[...] 了解伟大数学家之间的争论和分歧可能会在课堂上引发健康的怀疑和讨论，并导致对原则的更坚定把握。[...] 教师可以从学科历史知识中获得的最宝贵的资产之一是对当前传统影响的欣赏，[hellip;]重要的是要向学生传达这样一种知识，即今天作为成品教授的许多内容是几个世纪探索或激烈争论的结果。[...] 只有在数学自身历史的背景下，才能正确地教授数学。
教育部，1958年
在我们看来，数学老师有这个任务[...]帮助每一个学生尽可能地发展他对数学本身的欣赏和享受，以及他对数学在科学技术和我们的文明发展中已经并将继续发挥的作用的认识。[...] （成绩优异的学生）也应该被鼓励阅读有关数学的书籍，学习一些过去伟大数学家的工作。[...] 参考一些正在研究的主题历史背景的课程既有助于解释它们的重要性，也能增加A-level课程的兴趣和深度。
科克罗夫特报告，1982年
奇怪的是，在英国教育理想的典范《国家课程》中，没有任何迹象表明过去对在数学教学中使用历史的担忧。我们发现，与一个世纪以来任何有关数学教育的官方文件相比，历史视角在20世纪90年代初都不那么引人注目。这是怎么发生的？
许多教师并不缺乏热情，并不是人们听不到这个信息；仅仅说同样的话是没有意义的，但要大声一点。相反，重要的是要设法理解为什么在正确的地方很难表达利用历史的价值。是什么阻碍了这种简单有益的改进？然后我们开始理解；当然，改变远不是简单的，也可能不是简单的普遍认为有益的。从根本上讲，问题可能在于不同的数学观之间存在着深刻的分歧。一个由永恒的真理和无价值的事实组成的数学，可能从根本上与一个通过人类在社会环境中的努力发展起来的数学不一致。正是这种超脱的抽象、纯洁的数学吸引了许多古往今来的学生。我们不应该忽视这种情感审美反应的坚韧性和深度——事实上，在某种程度上是有效的。
但是，即使是有历史条件的数学，也可能会产生后代认为不可接受的意识形态，或者至少是不流行的意识形态：数学教育中历史观点的一个有力论据，在本世纪初非常受欢迎，个体的数学发展追溯了数学本身的历史，这是生物学上的一个观点：个体发生学重述了植物发生学的观点。这就是早在19世纪60年代，赫伯特·斯宾塞（Herbert Spenser）对教育有影响力的观点的主要特点是：儿童的教育必须在方式和安排上符合历史上所认为的人类教育；或者，换句话说，个体知识的起源必须遵循与种族知识起源相同的过程。并在20世纪初本查拉·布兰福德的作品中达到顶峰。（参见第16页和下一页的图表。）
但是，本世纪的历史经验使得自由讨论种族发展不那么受欢迎，而数学史的一点知识表明，无论如何，它的发展过程远没有这个类比所要求的那么简单和线性。布兰福德思想的深刻历史背景现在对我们来说是如此清晰，以至于这种分析很难以如此天真的态度维持下去，尽管当时它是一个强大而有效的模型。在数学教育中引用历史的事业可能遭受了挫折通过被种族主义意识形态（数学史本身并没有从中解脱出来）的涂黑，无论多么不公平。
学生应该发展他们的知识和理解，了解科学思想随着时间的推移而发生变化的方式，以及这些思想的性质和用途如何受到其形成的社会、道德、精神和文化背景的影响。
1989年国家课程中的科学
这也不是一种抽象的理性思考。注意一些没有被列入国家数学课程的东西；不仅缺少任何历史观点和机会，还缺少社会、道德、精神和文化背景，这些背景已经成功地在科学课程中站稳了脚跟（进一步讨论见Pumfrey[1991]）。历史和数学的结合可能仍然有些太危险了。历史的潜在颠覆性始终是对需要控制过去的当局的一个持续威胁，它与体现了相当多其他品质的数学的结合可能是一个令人不安和挑衅的计划。
但在数学教育中忽视历史的背后还有其他因素。历史不仅仅是某种润滑剂或添加剂，它装在管子里，可以在合适的时间注入，比如织物调节剂进入洗衣机。学生很难利用历史，他们的历史框架和对过去的感觉可能非常不稳定，如果真的存在的话；对于教师来说，这很难——他们在培训期间通常很少或根本没有学习数学历史，更不用说接受如何与学生一起使用历史的培训了。数学史学家们也发现，要将他们对历史的复杂性和微妙性的认识，与历史准确性和真实性的某种漫不经心的方式融为一体并非易事，这可能是一些课堂演讲甚至流行历史文本的一个特征。
此外，利用历史是一个好主意的信息是有价值的，但并不完整。在数学教学中使用历史并不难找到很多好的理由，并详细说明它能带来的好处。
数学教育中使用历史的几个原因：
有助于提高学习动机
赋予数学人性化的一面
历史发展有助于在课程中有序地呈现主题
向学生展示概念是如何发展的有助于他们理解
改变学生对数学的认知
古代与现代的比较确立了现代技术的价值
有助于发展多元文化的方法
提供调查机会
过去的发展障碍有助于解释今天的学生发现的困难
学生们从意识到他们不是唯一有问题的人中得到安慰
鼓励更快的学习者进一步学习
有助于解释数学在社会中的作用
让数学不再那么可怕
探索历史有助于保持你对数学的兴趣和激情
提供与其他教师或学科进行跨课程工作的机会
在过去的几十年里，有许多有价值和有趣的论文被写了出来，列出了这样的清单，并探索了证明这些主张的论点和插图——但有一种危险，那就是这被视为论点的终结，然后这些变化将奇迹般地发生，因为它们具有内在的说服力。重要的是要超越这一阶段，把它当作是一件好事——出于许多原因——并展示如何将历史融入一些课堂活动，如何使各种具体事物的教学更容易，最初可能需要的额外工作如何在提高数学课程目标的实现方面产生长期回报，等等。在教师和学生的生活中，如果没有明显的具体回报，一切都是空话。
例如，在法国，许多有价值的工作正沿着这些方向进行，数学协会最近出版了一本法国教师的论文，题目是《数学课堂中的历史》。许多人付出的巨大努力已经过去探索如何在课堂上使用历史数学文本——这不是唯一的方法，而是一种极具潜力的方法。其他有价值的工作已经在国外完成，尤其是在以色列，魏茨曼研究所的工作人员已经开发了历史资料包，供数学教师使用；例如，参见本期其他地方Ofir的论文。
一旦从经验中可以看出使用历史确实有效，那么就有了一个更具说服力的论点的基础，并且可以探索大量的方法来帮助数学教师和学习者。
数学课堂中运用历史的几种方法：
提到过去的数学家轶事般地为学生提供新概念的历史介绍
鼓励学生理解他们正在学习的概念所解答的历史问题
开设“数学史”课程
利用过去的数学课文设计课堂或家庭作业练习
反映数学互动的直接戏剧活动
鼓励创作具有历史主题的海报展示或其他项目
过去为当地数学活动设置项目
使用过去的关键例子来说明技术或方法
探索过去的误解/错误/替代观点，帮助今天的学习者理解和解决困难
根据某一主题的历史发展，设计该主题的教学方法
根据历史信息，设计教学大纲中主题的顺序和结构
在数学教学中使用数学史与将数学史作为一门学科进行教学之间有着重要的区别。除此之外，还可以加入数学教育中的第三种历史参与：从历史的角度对数学的文化研究——社会中的数学讨论，等等。有几个原因可以解释为什么把这些分开是很重要的。首先，他们经常感到困惑；教师们可能会担心，他们被要求教授一门他们知之甚少且不在教学大纲上的学科，即数学史，而他们实际上被鼓励做的是探索如何帮助他们的数学教学本身在某些方面变得更丰富、更多样、更有效。由于不清楚这一根本区别，各种混乱的讨论可能会出现。
数学史应该在通识课、历史课和其他课程中发挥重要作用；但这与它在数学课堂中的使用是不同的。100年前，在1893年与几何教学改进协会的一次谈话中，G·赫佩尔非常清楚地解释了这一点，但在这段时间里，这种区别及其原因并不总是那么清楚。
历史在数学教学中的运用：
（1）数学史应该严格地从属于数学教学。
（2）只有那些对学习者真正有帮助的部分才应该处理。
（3）这不是考试的题目。除非遵守这些条件，否则引入新的教学内容的效果恐怕是有害的，而不是有益的。普通的男学生或女学生现在掌握着他或她能令人满意地学习的尽可能多的科目，而且没有人希望这个数字增加。
G.赫佩尔，1893年
第二，历史教学和使用历史的区别很重要，这不仅能让老师们安心，而且因为历史在数学课程的各个组成部分的教学中都有潜在的用途。尽管历史本身在英国国家数学课程中没有被提及，但这可能并不妨碍它在数学课堂上的使用，因为其目的大概是让数学通过最有效的手段进行教学——因此，如果可以证明这一点，应该包括历史观点。
第三，现在的教师显然面临着压力，在很多情况下，这是受欢迎的，他们需要将数学研究从各个方向进行情境化。Cockcroft报告提到了老师的“任务[hellip;]帮助每个学生尽可能地发展他的欣赏和对数学本身的享受，以及他对数学在科学技术和人类文明发展中已经并将继续发挥的作用的认识。最近，学校越来越关心如何帮助不同文化背景的学生发挥他们的潜力，以及确保所有儿童都能欣赏数学的多元文化根源。许多教师还关心如何确保在整个tee期间帮助女孩继续充分发挥其数学潜力好几年了。所有这些问题都受到历史观点的实质推动。这是另一个提倡使用历史的历史传统领域。1908年，本查拉·布兰福德（Benchara Branford）从以下几个方面讨论了女性数学教育的不足：
发展适合女性的数学分组和类型的问题[hellip;]他们的处境比向男性提问更加模糊和不成熟。如果我们回顾教育的历史，这一点就不足为奇了。毫无疑问，妇女问题的解决只能从妇女自身开始，并逐渐从她们今天对男性教育习俗和标准的遵守和模仿中解放出来。数学史上的大量研究工作，尤其是与女性艺术和手工艺的兴起和发展有关的研究工作、精心设计的各种课程的深思熟虑的实验，以及女性对自己找出最佳解决方案的能力的信心，无疑都是需要的。[布兰福德，1924年；第270页]
历史用途的另一个不同维度是水平或关键阶段，即学生已达到的发展阶段。小学教师面临的可能性和挑战与体育教师大不相同，只有一些经验可以有意义地分享。我要指出这一点非常明显，因为在谈论历史的用途时，人们有一种可以理解的诱惑，即不带偏见地假设非常明确地认识到这一点，他们的学生的关键阶段、年龄或能力范围就是正在讨论的阶段；忽视各种可能性的广度可能会产生各种不必要的误解，其范围比任何一位教师可能遇到的范围都要广得多。本期《数学学习》中的其他论文展示了一个恰当设计的历史模型所适用的年龄和水平范围组件可以丰富课堂数学。
没有人会假装在教室里利用历史很容易。在所有教师教育都包括数学史和课堂使用培训的那一天之前，对于不同的主题、适当的年龄和能力范围，教师在这一领域会有一点谨慎，因为他们担心知道得不够多，无法获得适当的材料，从而使这种方法更容易或确实可行。需要进行大量讨论，讨论需要什么样的支持，以及如何帮助课堂教师提供课程、背景阅读、课堂教材包示例和其他活动，等等。希望这一次，利用历史的运动能更牢固地建立在必须采取哪些措施来支持课堂教师的现实基础上，通过榜样和提供材料。
在接下来的几年里，整个欧洲和更广泛的世界将迎来一个更加丰富的数学教育环
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