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监测事件间时间的改进1期控制图
摘要
在许多情况下，观察和监视某些事件之间的时间，而不是事件数，特别是当事件很少发生时。在这种情况下，通常假设事件之间的时间遵循指数分布。控制图是统计过程控制和监控的主要工具之一。控制图在阶段1中使用，以帮助操作人员使过程进入统计控制的状态。 在本文中，1阶段控制图被考虑用于观测具有未知均值的指数分布。并通过模拟比较了提出的控制图的控制鲁棒性和失控性能。可以看出所提出的控制图比两个竞争控制图具有显着更强的控制鲁棒性并且具有可比的失控属性。 版权所有copy;2014 John Wiley＆Sons，Ltd.
关键词：I期和II期控制图，指数分布，事件之间的时间; 性能;
1.引言
控制图是一个非常有用的统计工具，用于区分异常情况的随机和异常原因。在相关文献中，两个阶段的控制图的实际使用已经被广泛论证过。在阶段1中，收集一组过程数据并进行回顾分析，构建控制限以确定收集数据时的过程是否受控，以及是否可以建立可靠的控制限以监测未来的生产过程。在阶段1，控制图的主要作用是帮助操作人员使过程进入统计控制状态。在2阶段，控制图通过比较每个连续样本的统计数据来监视过程是否受控。1阶段控制图是整个控制图及检测方法的重要组成部分，其目标与第二阶段或监测阶段有些不同。读者可参考Chakraborti等人[1]的I期控制图的概述。
在许多情况下，观察和监视某些事件之间的时间，而不是事件发生的数量，特别是当事件很少发生时。因此我们通常假设事件之间的时间遵循指数分布。Montgomery[2]建议可以通过监控故障之间的时间来控制过程质量。有文献提出事件间隔控制图[3-5]。Liu等[6]比较了这其中的一些控制图，包括累积和以及指数加权移动平均图。一些作者建议在数据转换后将其应在常规休哈特控制图[7-9]。 Jones和Champ[10强调了按照均匀的泊松过程发生故障时的早期阶段过程改进活动。10他们还解决了使用1阶控制图来控制各个虚报率的问题的严重性，并建议1阶段控制控制图应设计为控制整体误报率（概率），而不是单个虚警率。
控制（In Control, IC）鲁棒性是控制图的重要的期望属性，它使得IC图性能稳定。如果控制图不是IC鲁棒的，控制图将变得无意义。许多作者已经讨论了控制图的鲁棒性[13]，Dovoedo和Chakraborti研究了鲁棒性[10]，并提出了对具有未知均值的指数分布的个体观察的修正箱体图的1期控制图，因而整体误报率被控制在要求的标称值内。在本文中，我们进一步改进这些控制图，并考虑提出针对具有未知平均值的指数分布的观察的新的1期控制图。
关键思想是，因为所提出的控制图是从数据的中值构造的，所以在一个或多个失控(Out of Control, OCT)观测中，所得到的控制限度要比由Jones和Champ[10]基于平均值的控制图具有更强的IC鲁棒性。
本文的结构如下：在第2节中，提出了单侧控制图的控制限。 双侧控制图的控制限在第3节中提出。在第4节中，通过模拟研究比较了本文提出的方法的IC鲁棒性与Jones和Champ[10]以及Dovoedo和Chakraborti[13]的方法。 OOC性能在第5节中进行比较。我们在第6节中给出了一个示例，最后在第7节中进行总结。
2.单侧控制图
假设过程中的事件根据具有恒定故障率的均匀泊松过程进行。在这个假设下，两个连续故障之间的时间是独立的，并遵循指数分布。 进一步假设在故障之间存在n个随机时间，由，i=1，...，n表示。 假设这些随机变量，...，各自独立，且均遵循具有未知平均值mu;1，...，mu;n的指数分布。 当mu;i等于数值未知的mu;时，该过程在时间 I 处是受控的。 令X=，其中Xi表示样本平均值，令alpha;表示总误报率。 Jones和Champ[10]提出了以下的单侧控制图，以将总体误报率保持在标称水平。
LCL=
CL=X （1）
令X（1）hellip;,X（n）为有序观测值，让X（I），X（m），X（u）分别表示第1，第2和第3四分位数。Dovoedo和Chakraborti[14]对指数I，m和u使用以下定义：m = ceil（m / 2）;否则，如果mod（m，4）ne;0并且l = floor（m / 4），则l = floor（m / 4） 1，其中ceil（a）表示大于或等于a的最小整数，floor(a)表示小于或等于a的最大整数，mod（a，b）表示整数a除以整数b的余数;u = m-l 1;
受到探索性数据分析中流行的工具box-plot启发，Dovoedo和Chakraborti[13]提出了以下LCL和用于相同问题的较低单侧图的中心线。
LCL=X(m)-kl(X(m)-X(l))
CL=X(m) （2）
常数k1被称为围栏常数，是一个确定值，它使得总的误报率被控制在某个标称水平alpha;0。注意总的误报率是当过程是IC时，至少一个观察值低于控制下限的概率。 因此，在Dovoedo和Chakraborti[13]的研究中中，常数k1被发现
（3）
其中y（1）=z（m）kl(X（m）X（1））表示在Gl（y（l））= F（y（l））/ F（z（l））处评估的不完全beta;函数，另外z（i）是Z（i）的值， 表示随机样本大小为n的标准化指数随机变量Z = X /mu;的第i阶统计量。
注意，Dovoedo和Chakraborti[13]下限控制限（LCL）是由中位数以及中位数X（m）与第1四分位数X（I）之间的间距的倍数之间的距离。由于预期观察X（I 1）主要受其前导X（I l）直接影响，我们基于这两个阶次统计之间的间隔,提出用于单侧图的新LCL:
LCL=X(m)-k1(X(L 1)-X(l)) （4）
新的控制图的中心线和之前是相同的，即CL=X（m）。
如前所述获得新的围栏常数k1，对于总的误报率为给定标称值alpha;0,有下式
alpha;0=Pr[X(1)lt;X(m)-K1(X(l 1)-X(l)|IC].
注意，上述等式可以重写为下式
alpha;0=Pr[]
现在定义
T1= （5）
新过程的围栏常数k1可以经由下式获得：
alpha;0=Pr[T1lt;1/K1|IC] （6）
事实证明，统计量T1是Dixon#39;s[15]统计的特殊情况。 Likes[16]获得了其在指数样本中测试异常值的分布，其在附录中给出。因此，可以通过在统计量（A1）及其分布（A2）中替代适当的量（s = 1 1，r = 1，q = m，p = 1）来简单地获得统计量T1的IC分布。 这是由下式给出的
1-FT1(t)
= ]
（7）
因为等式（6）可以写为
alpha;0=FT1(1/K1)=FT(t1) （8）
其中t1 = 1 / k1。新的围栏常数可以使用（7）获得。
因此，对于固定的标称值alpha;0，可以数值求解方程（8）（例如使用MATLAB中的求解函数），其中FT1,t1由式（7）给出。一旦确定围栏常数k1，就可以通过使用等式（4）来构造所提出的单侧控制图的LCL。表1给出了一些典型值的n的围栏常数k1的值和总的误报率alpha;0。
3.双侧控制图
Jones和Champ[10]给出大致的下限和上限控制限（UCL），以将总体误报率控制在标称值水平alpha;0：
LCL=
CL=
UCL= （9）
其中F分布的分子和分母的自由度分别为2（n-1）和2，并且tau;满足0lt;tau;lt;alpha;0/n。
对于同样的问题，Dovoedo和Chakraborti[13]提出了双边控制：
LCL=X(m)-kl(X(m)-X(f))
CL=X(m)
UCL=X(n) ku(X(u)-X(m)) （10）
使用与单侧控制图类似的想法，我们基于间隔X（u）-X（u 1）和X（l 1）-X（l）为双侧控制图提出新的控制限制，参数X（u）最受X（u-1）和X（I）受X（I 1）影响。提出的双侧控制图由下式给出:
LCL=X(m)-k1(X(l 1)-X(l))
CL=X(m)
UCL=X(m) k2(X(u)-X(u-1) (11)
注意，双侧控制图的总体误报率是当过程是IC时，至少一个观察值低于控制下限或者至少一个观察值超过控制上限的概率。 因此，用于双侧控制图的防区常数k1和k2，需要通过定的总误报率的标称值0来获得
alpha;0=Pr[X(1)lt;X(m)-k1(X(l 1)-X(l)cup;X(n)gt;X(m) k2(X(u)-Xu-1)|IC] （12）
很容易看出，总体虚报警率方程可以根据以下统计量重写为：
T1=
T2= （13）
因此，可以使用这些统计量及其IC分布来获得栅栏常数k1和k2。T1的IC分布由（7）给出。 统计量T2及其IC分布可以通过在等式（A1）和（A2）中分别代替s = u，r = u 1，q = m和p = m来获得。这是由下式给出的
1-FT2(t) = ]
(13)
因此，双侧控制图的围栏常数由下式给出
0=Pr[T1lt;1/k1T2lt;1/k2|IC] (14)
使用指数分布的性质，可以看出事件Pr[T1 lt;1 / k1]和Pr[T2 lt;1 / k2]是独立的但并非是不相交的。因此式（14）可以写为
0=Pr[T1lt;1/k1|IC] Pr[T2lt;1/k2|IC] Pr[T1lt;1/k1T2lt;1/K2|IC]
= Pr[T1lt;1/k1|IC] Pr[T2lt;1/k2|IC] Pr[T1lt;1/k1]*Pr[T<su
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