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大型自动化立体仓库系统中两个堆垛机的运动规划
摘要：我们提出了一个用于降低堆垛机运动规划计算时间的方法，大部分的自动化立体仓库中只配备有一台堆垛机，然而，这是后勤和在仓库中有更高工作效率的挑战，例如那些必须要配备两台堆垛机的仓库。在本文中，我们建议一个仓库有两台堆垛机同时工作，与只有一台堆垛机的仓库不同，两台堆垛机的轨道的规划是非常困难的，由于有两台堆垛机，一个合理的轨道设计必须要考虑的避免碰撞的问题，在自动化立体仓库中，因为搬运工作是随机发生的，运动的规划就不能事先进行，一个带有限制运动时间的轨道设计规划将会是一个艰难的任务。
作为一种解决方案，我们提出了一种“自由步骤”和一个来选择那些更有可能避免碰撞的轨迹的方法，我们从而解决了需要大量运动规划的计算时间这一目前存在的问题。
1引言
自动化立体仓库系统是库存管理过程的骨干，自动化立体仓库系统是一个使用自动堆垛机执行任务的仓库，例如装卸、库存和仓库布置（如图1）。随着客户需求变得多样化和变换频繁，自动化仓库的角色逐渐从商品长期储存在一个地方，变成了考虑到仓库装卸平衡的临时缓冲区。因为自动化立体仓库使用的越来越频繁，仓库的装卸效率也变得更加重要，我们致力于提高自动化立体仓库系统的效率。
图1 自动化立体仓库
基斯对自动化立体仓库进行了调查，并得出了一个结论，使用一台堆垛机的自动化立体仓库有5个提高效率的基本要素：
1)仓库的物理设计
2)存储分配
3)批量作业
4)仓库进出请求顺序
5)堆垛机的运动规划
根据一个堆垛机的水平和垂直速度，汤普金斯研究了仓库的最佳布局，此外，马姆博格团队研究仓库的最佳的存储分配，巴雷特团队研究了人为控制堆垛机的运动规划，人为控制的堆垛机是能够携带的多个货物，仓储工作的效率在很大程度上和决定运输次序的方式有关，运输序列的选择方法在很大程度上影响仓储工作的效率。在最后，即使所有的要素优化后设计了一个合适的系统，效率仍低于客户的需求，因此，自动化立体仓库采用两个堆垛机是目前潜在解决的问题。
自动化立体仓库采用两个堆垛机面临着两个挑战，第一是适当运动规划，由于两台堆垛机在大型仓库同时工作时，重叠的路径可能导致堆垛机碰撞；第二个挑战是有限计算时间内的运动规划，由于客户的库存订单总是随机出现，自动化立体仓库系统必须对顺序立即相应，并进行运动规划。在工业领域中最佳反应时间应该是小于0.1秒，在本文中，我们专注于塔式堆垛机的运动规划，并把其他元素作为固定条件。
1.1自动化立体仓库系统任务定义
虽然有许多种自动化仓库，我们着眼于在图1中所示的仓库类型，本文假设的仓库环境是如下：
1）存储货架的容量是128层256格，这是最大的实际规模（20层50格是在实践中最流行的规模）。
2）货格的尺寸为500（毫米）times;500（毫米）times;400（毫米）。
3）两个装载装置分别安装在货架两端。
4）任务是由两个堆垛机同时进行的，在这个仓库中，任务（运输需求）会由控制器指定，并且每个堆垛机在其轨道自由移动，用于输送负载，该堆垛机首先移动到指定位置，然后使用其货叉装载货品，并将其运送到指定的目的地，一旦任务完成后，新的任务被指定，
并且堆垛机执行新的任务。
图2 堆垛机
1.2堆垛机运动的局限性
由于堆垛机的移动包括一个垂直方向，我们要考虑一定的物理动力学（例如振动）和有限制的运动模式，即，开始移动后，堆垛机的轨迹不能改变。此外，当一个迂回轨迹为了避免碰撞，设置一个通过点来产生绕道而行的轨迹，并且堆垛机必须在移动到目的地之前的设置点停止一次。此外，该控制系统水平方向和垂直方向是独立的，这意味着水平和垂直运动也是独立的。在图3中，我们专注于类似的情况，其中堆垛机朝着其目的地的方向（由虚线指示），在水平和垂直方向的速度表根据水平距离和垂直距离生成，在这种情况下，垂直方向移动时间缩短的比水平方向多，轨迹如a所示。然而，有可能在保持表的形式的同时，堆垛机的速度表沿时间轴变化，堆垛机的轨迹将根据在速度表的变化进行修改。例如，在图4中，如果我们在垂直方向移动移动的开始时间从0变为t，堆垛机的轨迹从a变为b，其中a和b的移动时间是相同的。
在起点和目标位置之间有无数的的理论轨迹，然而，很容易理解的是，如果外轨迹（a和b）碰撞到其它堆垛机的轨迹，a和b之间的其他轨迹无法避免碰撞。因此，如果我们想找到一个非碰撞的轨迹，检查外轨迹就足够了。这是由于这样的事实，即，如果外轨迹与其他轨迹碰撞，这些外轨迹之间将发生碰撞。外轨迹在本文中被定义为“常规轨迹”。
图3 堆垛机在每个方向上的轨迹和速度时间表
图4 每个方向上改变堆垛机轨迹和速度时间表
1.3应该避免碰撞的情况
在仓库工作中有两个碰撞模式应该避免。
一个是堆垛机之间的碰撞。由于机械限制，我们无法使轨道之间有足够的距离。如果一个堆垛机位置与其它堆垛机的位置重叠将发生相撞（图5的（a））。
其他方面包括立柱和货叉之间的潜在的碰撞。当外侧堆垛机为了装载一负载伸开其货叉时，如果内侧堆垛机在外堆垛机旁边通过，它将在水平方向上与内侧堆垛机的立柱碰撞（图5的（b））。
图5 碰撞情况
1.4防碰撞运动规划
如果堆垛机在常规轨迹发生碰撞，我们必须规划避免碰撞轨迹（图6）。之前的研究[8]提出了两种方法以避免产生轨迹。它们是：
（1）要在一个方向上延迟运动：
使用这种方法时，如果我们对堆垛机延迟一个给定的持续时间，可避免碰撞，如图7。堆垛机2向目的地移动，因而由于机械限制此轨迹不能进行修改，在此期间，堆垛机1正试图规划一个到达目的地的适当轨迹，在这种情况下，如果堆垛机1直接到它的目的地，它将与堆垛机2碰撞。然而，如果堆垛机1被延迟一个给定的持续时间则可避免碰撞。
（2）创建一个迂回路线：
在方法1中，如果碰撞不可避免时，那么使用此方法。如图8，堆垛机1正试图规划适当轨迹到其目的地。在这种情况下，无论堆垛机1延迟多长时间运动，碰撞都无法避免。因此，设置一个通过点，并会重新导向到通过点的一条新的轨迹，以避免碰撞。在这项研究中，我们将使用[8]中提到的方法来产生避免碰撞轨迹，并且集中研究对于计算防撞时间的验证。
2问题描述
由于使用旧方法计算来产生最优轨迹需要太多的时间，本文的目的是提出可以在网络环境下快速规划轨道运动的方法，同时保持效率可以媲美之前研究[8]中使用的方法。
图6 运动规划流程图
图7 在一个方向运动延迟的情况
图8 一种发生迂回线路的情况
具体地，对于轨迹运动的计算时间是在0.1秒以下的2GHz的CPU进行的，显示为：
（1）
（2）
t：一定的运动任务的动作规划时间。
：第k个防碰撞候选轨迹的验证时间。
T：仓库工作的运动规划时间。
此外，对于一仓库任务的完成的时间必须减少同时满足其他两个限制，表现为：
（3）
（4）
: 第k个的位置。
: p1和p2之间的运动时间。
:第k个位置的待机时间。
在仓库中工作效率非常重要，我们希望尽量减少工作时间。因此，需要可以迅速计算并有效的算法，本文的目的是提出既可以减少计算时间，又提供理想的工作效率的方法。
3建议
该建议的流程示意于图6。首先，我们生成一个常规的轨迹，如果，在常规的轨迹中，一个堆垛机与其他堆垛机碰撞，我们再生成回避轨迹，如在之前的研究[8]中提及到的。虽然产生的轨迹是非常快的，但是它需要大量的时间来计算、检查与其它每个堆垛机生成的轨迹是否碰撞。常规轨迹无法避免碰撞，需要生成大量的防碰撞轨迹。由于为了找到一个可行的路径，每个防碰撞轨迹都需要验证，需要很长的计算时间。为了减少运动规划的计算时间，提出了两种方法。 它们是：
（1）利用“自由步骤”
在以往的研究中，进行碰撞回避候选轨迹的验证，和两者的冲突检查，如果当前任务完成时，分别为用于规划随后的每一个运动的离散时间（步骤）执行（图9）。这意味着，对于一个候补轨迹的碰撞检测计算时间正比于轨迹的长度。因此，将采取大量时间在一个大型仓库开展的碰撞检测。在本文中，我们提出了一个“自由步骤”来检查碰撞，只有当堆垛机可能会相互碰撞，而不是在每个采样时间检查碰撞。自由步骤是该堆垛机可以采取不与其他碰撞步骤（采样时间）的次数。我们计算的时间是在堆垛机移动时间跨度期间内不会互相碰撞的时间，其中的“自由步骤”的推导是根据下面所示的公式在水平方向和垂直方向分别计算的，根据“各堆垛机的速度和方向”和“堆垛机的速度是否达到最大”（图10）这样的情况，我们可以得到以避免碰撞最小的时间跨度。例如，在式（5）和图10中，V1和V2的方向是相同的。我们要计算的时间跨度期间堆垛机可以在无冲突检查的情况下移动，因此，我们考虑一个极端的情况，其中堆垛机2移动非常缓慢，它的速度接近0，而堆垛机1以最大水平速度向右移动。在这种情况下，堆垛机可以无碰撞移动的时间跨度将是DX的划分和最大水平速度。我们可以用相同的方法获得其他的公式。
对于在x轴方向的自由步，
图9 防碰撞验证流程图
●V1和V2的方向是相同的。
（5）
●V1和V2的方向是相反的。
（6）
●V1和V2中有一个为0。
（未达到最高速度）（7）
(达到最高速度) （8）
●V1和V2都为0。
（未达到最高速度） （9）
（达到最高速度） （10）
a：X方向的加速度。
：X方向的最大速度。
图10 两堆垛机在X方向上速度与距离的关系
在Y轴方向的自由步骤，Y_freestep，可以用类似的公式中y替换x得到。由于吊车碰撞仅当两个x和y位置重叠，自由步骤将是X_freestep和Y_freestep较大的一个。Free step=max (X_freestep, Y_freestep)。
这种新方法将计算自由步骤，并做每一个自由步骤防撞检查，而不是在以往的研究中每一个步骤做防撞检查。通过这种方法，我们可以显著减少计算时间。
（2）碰撞检查的顺序附表：
对于一组起点和目标位置的，存在多个可能的运动轨迹。对于一个常规轨迹，有两种运动选择，如果常规轨迹无法避免，那么我们就必须产生一个可行的避免碰撞轨迹，可能生成许多避免碰撞轨迹，进行防碰撞验证，然后用移动时间最短的轨迹作为解。由于避免碰撞轨迹有相当数量的候选轨迹，如果随机计算防碰撞验证，可以省去大量时间。因此，安排碰撞检测的顺序是重要的。
在之前的研究中，对可能的轨迹进行防碰撞检查，随机执行。然而，当我们做防碰撞验证时，我们发现有一些候选轨迹发生碰撞的概率很高，而有些则不是。如果我们忽视这一因素，并随机进行防碰撞验证，可能需要相当多的时间来检查所有可行的轨迹。
在本文中，我们为给定的轨迹提出了一个有效的方法来安排碰撞检查的顺序。发生冲突的概率较高的轨迹首先检查，并且因此，碰撞检测的计算时间可被减少。我们使用两个堆垛机的位置，并选择一个离常规轨迹更远的情况。例如，在图11，堆垛机2移动到它的目的地，而且它的轨迹是不变的，堆垛机1产生的常规轨迹在T1和T2之间运动，在这里，由于T1离堆垛机2更远，我们认为T1比T2具有更高的避免碰撞的可能性，而且我们先做T1的防碰撞验证。在绕道回避碰撞轨迹的情况下，前者的研究基于预期的碰撞点设置了几个通过点，对于每一个通过点，有四种可能的回避轨迹，例如，在图12中，可能的轨迹可以是从起点到通过点的结合轨迹，或通过点到目的地的轨迹，它们分别是T3T5，T3T6，T4T5和T4T6，这些候选轨迹随机进行碰撞检查。然而，在本论文中，我们只检查离碰撞点最远的轨迹，如图12中的T3T5。
图11 在一个常规轨迹上防碰撞验证顺序的导出
图12 在一个迂回轨迹上防碰撞验证顺序的导出
为了从候选轨迹中得到最远的轨迹，我们绘制开始位置和目标位置之间的线路，并计算其方程（图13）；然后通过替换方程式中点的位置我们可以知道我们想避免的点是在路线的左侧还是右侧，然后选择的轨迹是在相对侧（表1）。
图13 最远轨迹的推导方法
表1
4仿真
用一个带有2044 MB内存的英特尔至强3.0GHz CPU的计算机来进行仿真。由于本文的目的是为了提供一个方法来表明一个普通的工业计算机（以2.0 GHz的CPU）提供的0.1s运动计划时间。由于两
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