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生产监控均值变化过程的T型运行和图
C. K. Sitt amp; Michael B. C. Khoo amp; M. Shamsuzzaman
摘要：均值型控制图在估计误差或者过程标准偏差的变化方面是不健全的。因此，T型控制图，例如指数加权移动平均T控制图（EMVA），克服了这个弱点。本文提出了一种T控制图的运行和图，并确定了其最佳分数和参数。马尔可夫链方法是用来描述T型运行和图的运行长度分布的。研究数据统计设计是为了最大限度地减小失控的平均运行长度（ARL），研究经济数据设计是为了最大限度地减少运行成本。数据结果表明，就平均运行长度和成本标准而言，同时关于标准差的变化方面，T型控制图比小位移的X型控制图更加稳健。T型控制图中，在通过拥有更小的平均运行长度和更低的成本来协调数据变化大方面，T型运行和图比移动平均T控制图更优。当控制图被设计为最佳适合于数据变化大的情况时，T型运行和图由于拥有更小的平均运行长度而远远超过X型控制图。但是X型运行和图和移动平均X控制图更适合数据变化小的情况。就减少成本而言，X型控制图优于T型控制图。在真实的生产监测情形下，估计误差的发生的无法预测的，在处理此种情况方面，T型运行和图是一个重要并且很有用的工具和专业产品。
关键词：X型控制图 T型控制图 运行和图 稳健性 经济统计设计 零和稳态
一、介绍
统计过程控制（SPC）已经广泛应用于制造业，例如，在决定是否购买某一产品时，提高供应商对机器生产的产品质量检测水平，并在短的运行环境下实现数据的补充【1】（268–269页）。统计过程控制方法可以很容易地与其它方法结合，如专家系统（ES）、人工神经网络（ANN）、多级制造系统（MMS），以此达到更好的工艺改进效果。通过与专家在线检测各种控制图的模式，当检测到生产过程中一个小小的变化时，质量从业人员都能迅速做出反应{2}}，结合人工神经网络来控制图表的识别模式，对识别器的识别性能可以用较少的学习时间进一步改进【3】。通过结合多级制造系统使用几个单独的时间-事件图表，生产产品的质量可以进一步提高【4】。在统计控制过程中的所有工具中，X型控制图是最强大和最常用的。
在文献中，X型控制图的运行研究经常是基于假设生产过程都是正确无误地被确立的；因此，在估计过程标准偏差时是没有任何错误的。然而，在实际过程中不总是这样的。在估计过程标准偏差时错误存在，或者由于缺乏可靠的数据或过程的标准差变化了，就会表现在X型控制图缺少稳健性【5】。当过程标准偏差存在变化时，X型控制图在控制平均运行长度方面表现出了宽泛的变化性。因此，张【5】等人开发了T型控制图和移动平均T型控制图，这两种控制图在应对过程标准偏差变化方面比X型控制图更为稳健。他们同样也表明，当估计过程标准偏差的错误不存在时，在两种控制图都用来调和变化大的数据时，移动平均T控制图和移动平均X控制图有着相同的表现。只有在优化变化比较小的数据方面，移动平均X控制图才优于移动平均T控制图。继提出T控制图和移动平均T控制图之后，T型控制图被切拉诺等[6]人在生产运行较短的情况下有所补充，同时也研究了T控制图在短期生产运行情况下的经济表现[7]。
前一段所提到的图表并没有将控制域划分成区域，因此，它们不是区域性控制图。运行和图是一个区域性控制图，将其划分为以上下边界确定的区域，并将数值分配给这些区域。运行和图的开发，是为了加强基础控制图的灵敏度，同时保留基本图的简单操作方法。这是因为控制统计的基本图表仍然可以用于运行和图。运行和图监视分数的总和，它以发出信号来控制，当任一（1）的正分数的运行总和达到或超过一个积极的临界值，或（2）的负分数的运行总和达到或小于一个负临界分数。在运行和图上内容如下：运行和控制图是由罗伯茨[8]介绍并由瑞恩欧兹[9]进一步研究的。运行和图的一种特殊情况，称为区域控制图，是由Jaehn调查的[10]。区域控制图的平均步长和与休哈特图表现的比较并没有运行规则，后来由戴维斯等人研究了一些规则[11]，一种计算由用户指定的区域控制图的平均步长和分数的程序是由金和戴维斯[12]提供的。一个适用于过程中心及变化的联合监测的区域控制图的经济设计是由何和凯斯[13]提出的。戴维斯等人提出了一种通用模型的区域控制图和快速的初始响应（FIR）功能的图表[14]。Champ和Rigdon[15]使用马尔可夫链方法研究了X型运行和图的运行长度分布。他们表明，X型运行和图优于带有运行规则休哈特X图，并通过添加更多的区域和分数，X型运行和图可以和累积和均值和指数加权移动平均（EWMA）X控制图一样有竞争力。托雷斯阿吉雷和洛佩兹雷耶斯[16]提出了运行和图的样本均值X和样本范围R。戴维斯和科瑞别尔[17]表明，在检测过程中均值的线性变化时，区域控制图一般优于休哈特图。Acosta-Mejia和 Pignatiello 提出了带有及时初始响应功能的R型运行和图，并表明其比一些带有运行规则的R型控制图更加灵敏[18]。及时初始响应特征给了R型运行和图一个强有力的开端，来加强控制图在检测过程初始失控信号时的灵敏度。
本文提出的T型运行和图起因于整合T型控制图的想法。本文阐述了T型运行和图的优化设计。然而，它强调了基于纯数据统计的控制图设计就成本而言不一定是最优的[19]。如果成本是设计的关键，最好选择基于经济统计的设计方案。因此，本文也会讨论提出的T型运行和图的经济统计设计。最近发表的论文中，Niaki[20]、Yeong[21]、刘[22]、Acosta-Mejia and Pignatiello[23]、Yeong[24]和Castagliola[25]等人研究了控制图的经济性。
本文的组织结构如下：第二部分提供了T型运行和图的一些预备知识。第三部分说明了T型运行和图的最佳分数和参数的计算。第四部分介绍了一个概述的X型和T型控制图，这两个控制图在第五和第六部分有详细叙述。第五部分比较了T型运行和图和X型运行和图的稳健性。第六部分被分为三个部分。在6.1中，比较了T型运行和图和X型控制图（X型和图，X型移动平均控制图，X型控制图）的平均运行长度。在6.2中，比较了带有T型控制图（移动平均T型控制图和T型控制图）的T型运行和图的平均运行长度。在6.3中，比较了T型运行和图和移动平均T型控制图的最佳平均运行长度。第七部分分为两个部分，在7.1中，一项关于T型和X型控制图的稳健性的研究表明，就成本而言，在过程标准偏差中的估计误差存在。在7.2中，比较了当误差估计不存在时，T型控制图和X型控制图的最小成本。在第八部分，提供了一个说明性的例子来表现T型运行和图的建设性。第九部分是结论，在附录中，提供了使用马尔可夫链方法得出的计算T型运行和图平均运行长度（ARL）的完整程序。
二、T型运行和图
{Xr,1,Xr,2,hellip;Xr,n}是一个样本，次数为r=1,2,hellip;,n是样本容量。假设有在样本间具有独立性，满足Xr,s ~ N(mu;0 asigma;0,b2sigma;20)，r=1,2,hellip;,且1le; s le;n ，mu;0 和 sigma;0 分别是名义上的过程均值和名义上的过程标准偏差，过程统计在控制范围内，如果a = 0 且b = 1。否则，过程就会变化。也就是说，过程均值如果mu; 0变化了（a ≠ 0）, 或者过程均值偏差sigma; 0 变化了(b ≠ 1)，或者两者都变化了。
样本均值Xr和样本标准偏差Sr，在次数为r时,依次满足Xbarr=r,s和Sr=2,。为了有效消除估计过程标准偏差的误差，张等[5]人提出了把统计数据Tr定义为
Tr=,r=1,2,hellip; (1)
当过程是在控制内的（a=0且b=1），统计量Tr服从学生t-分布，带有n-1的自由度，然而当过程不在控制内，统计量Tr服从非中心的学生t-分布，带有n-1的自由度和非中心参数a/b.
T型运行和图被分成中心线以上k个区域和以下k个区域，中心线（CL=0）以上部分k区域需要以下定义：
- k上限（UCL）界定为0 = CL lt; UCL1 lt; ... lt;UCLkminus;1lt;UCLk=infin;
- k数值界定为 minus;Sk le;minus;Sk minus;1le;...le;minus;S2le;minus;S1le;0, 每个整数数值minus;Sj, j=1, 2, ... , k和间隔联系起来[UCLjminus;1,UCLj].注意当j=1,UCLj-1=CL时。允许我们定义以下数值函数：
S(Tr)=Sj 如果Tr[UCLj-1,UCLj],j=1,2,hellip;k. (2)
3.一个激发的数值H＝Sk.注释：H设置为Sk因为控制图是为了找到失控数据发出警报的，当一个Tr点掉在上限外。Tr isin;[UCLk minus;1,UCLk] 。类似地，k区域在中心线以下时，控制图需要下列定义：
（1）k低于控制限，被界定为：minus;infin;=LCLklt;LCLkminus;1lt;... lt;LCL1lt;CL=0, LCLj=minus;UCLj, j=1,2,...,k
（2）k值被界定为：minus;Sk le;minus;Sk minus;1le;...le;minus;S2le;minus;S1le;0, 每个整数数值minus;Sj, 有j=1, 2, ... , k, 与间隔联系在一起[LCLj ,LCLj minus; 1]. 注释：当j = 1, LCLj minus; 1 = CL. 数值函数被定义为
S(Tr)=-Sj 如果Tr[UCLj-1,UCLj],j=1,2,hellip;k. (3)
4.一个启发数J=-Sk.这里，J被设置为-Sk,因为控制图是在当一个点Tr掉在下限以外时发出警报的，Tr isin;(LCLk, LCLkminus;1).
中心线以下的区域和中心线以上的区域是对称的。中心线以上的区域和中心线以下的区域是分别用来检测均值的增加和减少的。T型和图监测数据是基于此累积求和的：
Ur=0 如果Trlt;CL;Ur= Urminus;1 S(Tr) 如果 Tr ge; CL (4)
Lr=0 如果Trgt;CL；Lr=Lr-1 S(Tr) 如果 Tr le;CL (5)
r=1,2,hellip;且U0ge;0，L0le;0 是控制图最初的值。当U0=L0=0，则没有开始的特征值可以用。Ur是Tr落在中心线以上的累积和，同时Lr是Tr落在中心线以下的累积和。上控制限被定义为：
UCLj=KFminus;1t (j),j=1,2,hellip;,k-1. (6)
这里，F-1t是学生t-分布累积分布函数的逆函数，n-1的自由度，
当j=,j=1,2,hellip;,k-1. (7)
()是累积分布函数的标准正态分布。
在（7）中，“3”被用作Phi;( )的引数的分子，以至于当j=k-1时，k-1等于Phi;(3)，为了UCLk-1相当于正态分布中的百分比。这里，和依次代表均值和标准差。同样也要注意，在相同的等式中，“k-1”在Phi;( )引数的分母被设置为CL到UCLk-1区域内的数。这里，Phi;( )的引数，式子（7）中的j与有着相同的增长级数，每次j都统一地增长，j=1,2,hellip;,k-1.式子（6）中UCLj的定义表明：
LCLj=-UCLj,j=1,2hellip;k-1 (8)
式子（6）中参数K的值被赋予了一个期望的控制内的ARL(ARL0)。在本文中，t型运行和控制图被命名为RSt(k,K,（ S1，S2,hellip;,Sk）) ，t型运行和图有：
1.k区域在CL以上的部分有数值{S1,S2,hellip;,Sk}和一个启发数H=Sk.
2.k区域在CL以下的部分有数值{-S1,-S2
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