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在线附录——协作消费：战略与经济，产品共享（产品分工）的影响
这份在线附录提供了正文中被省略的证明和详细分析。第一部分是对二手商品市场的基准分析。第二部分是一个n-period模型。第三部分涉及产品随时间贬值理论。第四部分用模型明确了承租人道德风险的影响。第五部分涉及产品所有者和租户对于共享产品事务成本的分成。第六部分给出了模型扩展的数值研究，并对该模型进行了内源选择。
第一部分:二手商品市场的基准分析。
产品共享市场与二手商品的二级市场有一些概念上的相似之处，两者都能对公司产生一种相食效应和增值效应。这里我们提供了一个二手商品市场的基准分析，以说明产品共享市场与二级市场的区别。我们假设，不是产品共享市场，而是二手商品的二级市场，在这期间消费者可以销售他们的产品(而不是像在产品共享市场那样把他们租出去)。更具体地说，消费者可以选择在每个时间段的开始购买一个产品，并在那个时间段结束后(自使用后)出售。我们继续关注两周期模型。在第二阶段，一些消费者可能在二级市场上销售他们购买的产品，而另一些消费者则可以从二级市场购买产品。在均衡状态中，二级市场的供给和需求是相等的。我们使用来展示作品的市场出清价格与供应和需求相匹配的过程。对于二手商品市场，每个消费者i都有四个不明确的选择，下面列出了相应的效用，表示为。
- 在第一阶段购买产品，并在两段时间内使用:= -p ε.
- 在第一阶段购买产品，并在第二阶段在二级市场销售:= (1-alpha;)-t-p.
- 在第一阶段不购买，但在第二阶段购买第二市场的产品: :=- ε
- 不购买产品(即:外部选择权): :=0
接下来，我们首先确定二级二手商品市场的子博弈均衡，将公司的零售价格设为p。我们将产品的质量标准化为一。即q=1。
图A1 二级商品市场上的消费者决策
正如图A1所示，基于消费者在两个使用周期中的估值。，我们将所有消费者分为四个部分。
第一部分：p-,(1-alpha;)-t-ε, p-ε.
第二部分：(1-alpha;)-t-ε,-(p-) (1-alpha;)-t-ε, t-(1-alpha;).
第三部分：p-,-(p-) (1-alpha;)-t-ε,-ε.
第四部分：p t-(1-alpha;),-,
可以很容易地显示出消费者的最佳选择如下。
如果零售价足够低（即），消费者将从公司购买产品，没有消费者会从二级市场购买产品。与之相反，在零售价格高，的情况下，没有消费者能够从该公司购买产品，然后在二级市场上销售的行为中受益。总之，只有在的情况下，二级市场才会有交易。第1段的消费者将选择选项(1);第2段的消费者将选择选项(2);以此类推。在均衡中，二级市场的供给和需求在第二阶段是相等的。这需要“区间2”和“区间3”的大小相等，即[1-(p t-(1-alpha;))][(1-alpha;)-t-ε]=[1-(-ε)](p-，解方程，我们得到=,代入公式，如果二级市场存在交易（即），公司的需求函数是：
. (A1)
在考察了二手商品市场的均衡结果后，现在我们来看二级市场和产品共享市场的核心区别。回想一下，如果在共享设置下产品共享市场中存在共享事务（即）,该公司的需求函数如下(见主论文中的引理1):
.
很明显，。也就是说，二手商品市场和产品共享市场确实不同。注意，二级市场的转售交易涉及将产品所有权从卖方永久转移到买方，然而，在产品共享市场上的共享交易涉及到仅在特定的共享周期内将产品所有者的使用权暂时转让给承租人，而所有者仍然拥有该产品在未来期间的延续价值。可以很容易地观察到，在产品共享市场下，产品的剩余价值ε只会使公司的零售价格在需求函数中增加ε。因此，ε将不会对我们的任何结果产生定性的影响，除非将参数区域移到这些结果中。相比之下，在二级市场，剩余价值ε在公司的需求函数中扮演着更重要的角色，而不仅仅是通过ε来改变零售价格。
其次，在二手商品市场下，回收价值ε可以决定性地改变我们在产品共享市场下取得的主要成果。为了清楚和分析简单起见，我们将集中注意零交易成本的情况，即交易成本t= 0,
,
.
请记住，在没有产品共享市场或二手市场的情况下，公司的需求函数是
可以很容易看出，当p-ε1时，，当p-ε1时，,且可以忽略ε的值。因此，我们发现当公司的边际成本较低时(即当c-ε低时，公司最优零售价格减去剩余价值不高)，消费者对产品的分享对公司和消费者来说是一种损失（见主论文的第二项）;而当边际成本较高时(即，当c-ε高时，公司最优零售价格减去剩余价值高)，消费者共享产品是双赢的(在主论文中见第3号提案)。相较之下则可以显示，如果剩余价值较大（例如，），当时，；当时，。通过类似的分析，可以看出，在边际成本较低的情况下，二手商品市场的存在将有利于企业和消费者。但是当边际成本很高时，公司和消费者就会受到伤害。结果与我们在共享市场下的发现有本质的不同。这种差异的主要原因是,二级二手商品市场转售交易涉及到产品所有权的永久转会,而共享事务采取市场涉及一个临时的使用权的转让(从产品所有者房东)只有特定共享段。因此，产品的剩余价值对二级市场的均衡价格有很大的影响，但对共享市场的均衡产品价格却没有影响。这对市场上的交易成本产生了重要的影响——产品的回收价值将显著增加与交易价格成比例的二手商品转售交易成本，例如平台的百分比费用。在现实中，交易价格依赖的交易成本也可能包括销售税或销售佣金。我们的分析有助于解释为什么在现实中，需要使用产品的消费者不会在一个周期的基础上频繁地购买和销售二手产品，但可能会有多个租赁或共享交易。此外，在二级市场上，只有具有较高使用价值的消费者才会购买该产品;而在共享市场的情况下，消费者在使用期限较低的情况下也可以购买产品。因此，我们得出结论，产品共享市场与二手市场不同。
第二部分:n-period模型
我们在主论文中提出了一个两期模型。这里我们明确地考虑一个周期模型。类似于两周期模型，消费者的每一时期的使用价值（j=1，2，...，n）取决于产品的质量（q）和她为质量买单的意愿（）：我们假设,～U[0,1]。为了便于分析，我们假设消费者在这段时期开始的每一段时间都在学习他们的用法。也就是说，在决定是否在第一阶段从公司购买产品时，消费者知道她在当前时期的确切使用价值(即)，她不知道她的下一阶段的确切使用价值（j=2,hellip;..,n）,但知道她使用价值的分布，即～U[0,q]。
2.1 战略定价决策
在本节中，我们假设公司已经开发出了产品，它的质量水平与生产的边际成本相当。问题在于，该公司应如何优化产品价格，以应对消费者预期的产品共享。2.2节将研究公司战略选择的情况下其质量和价格预期的消费者的产品共享。
请注意,在我们的模型中如果,公司将获得无限的利润，通过产生无限的单位产品获得剩余价值。同时,如果,公司不会产生产品,因为它将无法通过出售任何单位商品来盈利。所以我们将关注的重要的参数范围c。注意d(p,q)=0时，如果，p，公司的利润将为负。因此，为了找到公司最优的定价，我们只需要检查一下。为了减少符号混乱，我们定义。
2.1.1.无产品共享市场(N)
让我们首先考虑一下没有产品共享市场的消费者共享产品的基准案例。考虑到该公司的零售价格，只有消费者的预期使用价值为才会购买该产品。公司的需求函数有条件的，很容易计算：
可以看出，公司的最佳零售价格是:
相应的需求为：
公司利润值为：
总的消费者盈余为：
2.1.2.产品共享市场（S）
我们现在研究的是存在一个产品共享市场的情况。我们将关注的重要的参数范围,因为如果,不会有共享事务处于平衡状态,结果将是相同的,好像没有共享市场存在。我们列出了消费者在第一阶段购买和租赁决策的可能选项，并给出了相应的总期望效用（跨越n个周期）。
- 购买产品，在第一阶段使用:.
- 购买产品，并在第1期的共享市场租出去:
- 不购买该产品，但在第1期的共享市场租赁产品:
- 不购买该产品，并在第1期的共享市场中不租用产品:
产品使用后评估实现时期jge;2后,消费者（i）购买产品需要自己决定是否使用产品自用的价值或租出去的共享市场的租金收入(1-alpha;)-t。不购买产品的消费者需要决定是否从共享市场租赁产品，以获得剩余或不做任何零效用的产品。接下来，我们将根据公司的零售价格（p）确定共享市场的子博弈均衡。
注意，如果，选项（ii）由选项（iv）主导，因此在第一个周期内，没有消费者会在共享市场中租赁该产品。但是如果，这意味着，选项（i）主导选项（iii），因此没有消费者会在第一个时期从产品共享市场租赁产品。综上所述，在第一阶段的均衡中不会有共享交易。在第一阶段取消租赁选择，消费者只会在选项(i)和(iv)之间进行选择。比较选项（i）和（iv），如果(即)，消费者1将选择选项（i）并购买该产品;如果，消费者将选择选项（iv），而不会购买该产品。于是我们得到了公司的需求函数：
请注意，在每一时期j（2），产品共享市场的供应都是公司在第一阶段销售的产品（即）。因此，在期望中，均衡共享价格在所有时期（j2）都应该是相同的（即），因此，我们可以简化表达式中的术语：
并且
将上述表达式和代入，得到
. (A3)
注意，在周期j（ge;2）期间，所有使用该产品的消费者（）都将使用该产品;将会有个这样的消费者。此外，具有自使用价值的产品所有者满足也将使用该产品;这样的产品拥有者的数量取决于消费者的使用价值的实现，即,有多少产品负责人意识到使用值落在区间。在期望中，这个数字是由给出的。因此，在均衡中，期望在j时期使用产品的消费者总数应该等于该公司之前销售的产品总数，即。这样我们就可以求解得到。把E[代入（A3），可以得到公司的需求函数。
在考察了产品共享市场的子博弈均衡后，我们考虑了公司的最优定价决策和总体均衡结果。为了分析简单性，我们将关注于t=0和a=0的情况，得到。可以很容易看出公司的最优价格是，需求是。公司的利润是，总消费者剩余是。
2.1.3协作消费的影响
在分析了基于产品共享市场是否存在的两种情况下的均衡结果后，我们现在可以研究消费者对消费产品共享的影响。
首先，我们比较公司的利润。当c时，。可以很容易地显示出，若，则；若，则。当，。由此可得，若，则；若，则。当，则。
总之，当，若，则；若，则。当，若，则；若，则。
- 我们比较了消费者剩余。证明和结果类似于公司利润的比较。总之，以时为例，当时,，并且，即消费者分享高边际成本的产品是企业和消费者的双赢。当时，并且。也就是说，消费者对产品的分享程度较低。对公司和消费者来说，边际成本是亏损的。注意这些结果是定性的。和我们在主论文中的发现一样(见命题2和3)。
2.2 战略质量决定
在这一部分中，我们研究了公司战略选择产品的质量和价格，以期待消费者的产品共享。
2.2.1 没有采取市场(N)
我们首先考虑的是没有产品共享市场的基准案例。通过对核心模型的相似分析，我们可以得到公司的最优价格和质量:
及
相应的需求为：
公司利润为：
总消费者剩余为：
2.2.2。产品共享市场(S)
我们现在研究的是存在一个产品共享市场的情况。为了便于分析，我们将再次关注于t=0和alpha;=0的情况。通过对核心模型的相似分析，我们可以得到公司的最优价格和质量:和，对应的需求为公司利润为。总的消费者盈余是。
2.2.3 协作消费的影响
接下来，我们通过比较在没有共享市场的情况下的市场结果来考察产品共享市场的经济影响。
首先，我们比较了质量水平。当,；当，。其结果与我们在主论文中的发现是一样的。在共享市场存在的情况下，公司发现提高其质量是最优的(见第4号提案)。
- 我们比较公司的利润和消费者剩余。请注意，在没有共享市场的情况下，当nge;5点时，主要市场将始终处于均衡状态（即）。但当共享市场存在的时候，就不是这样了（即）。为了消除这种差异，我们将把重点放在nle;4的情况下，即市场没有被完全覆盖，而不管共享市场的存在与否。可以看到，且。也就是说，共享市场的存在会增加公司的利润，但会减少消费者的剩余。这些结果也与我们在主要论文中的发现一致(见第4号提案)。
=
公司的需求函数是：
ds(p,q)=1-- (A4)
可以看出，若将p2代入dsup2;（p,q），方程将会相当复杂。为了更简单地分析，接下来我们将重点讨论t=0和alpha;=0的情况，即
p2=（p-ε）以及
忽略产品共享市场，单独考虑公司的零售价格p，只有完全满足使用价值的消费者会购买商品。公司的需求函数条件p很容易计算，如下所示：
1- if 0p-ε(1-Delta;)q,
if(1-Delta;)qp-ε q, (A5)
if qp-ε(2-Delta;)q.
与我们的核心模型类似，我们可以简单地显示出
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